Problema 1 – Esame di Stato 2026

Esame di Stato 2026 – PROBLEMA 1
Versione DSA

Soluzione proposta da Giuseppe Scoleri.

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🔍 Testo

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«Nella misura in cui i teoremi della Matematica si riferiscono alla realtà, non sono certi, e nella misura in cui essi sono certi, non si riferiscono alla realtà»
— Albert Einstein, Geometrie und Erfahrung, conferenza del 1921

In tabella sono indicati i rilevamenti, fatti a inizio anno a partire dal 2016, del livello dell'acqua del lago di Bracciano. Nel 2016 e nel 2017 il lago, oggetto di prelievi, era utilizzato come riserva idrica di emergenza per i comuni limitrofi e per l'approvvigionamento di Roma. Nel 2017, in considerazione dell'impatto ambientale e del notevole abbassamento del livello idrometrico rispetto a quello considerato ottimale, si è deciso di interrompere i prelievi, sospensione tuttora in atto.

Anno (1° gennaio)	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024	2025	2026
Livello (dm)	-6	-16	-20	-18	-16	-14	-12	-10	-10	-10	-10

Legenda: valori in decimetri (dm) rispetto allo zero idrometrico, rilevati al 1° gennaio di ogni anno.

Si scelga un sistema di riferimento in cui l'unità sull'asse delle ascisse corrisponda a un anno e il 1° gennaio 2016 corrisponda allo zero, mentre sull'asse delle ordinate l'unità corrisponda a 1 dm rispetto allo zero idrometrico (livello ottimale).

Dall'inizio del 2016 fino all'inizio del 2019 si può descrivere l'andamento con il modello polinomiale

\[ y = a(x-2)^4 + b(x-2)^3 + c(x-2)^2 - 20, \quad a,b,c \in \mathbb{R} \]

Tra l'inizio del 2019 e l'inizio del 2023 si assume una crescita oscillante, approssimata con un modello del tipo $ y = mx - 24 + \text{sen}^2(\pi x) $, con $ m \in \mathbb{R} $. Fino all'inizio del 2026, l'andamento è approssimato con un modello del tipo $ y = 2\cos(2\pi x) + k $, con $ k \in \mathbb{R} $.

Citazione di Albert Einstein: nella misura in cui i teoremi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certi, e nella misura in cui essi sono certi, non si riferiscono alla realtà. In tabella sono indicati i rilevamenti, fatti a inizio anno a partire dal 2016, del livello dell'acqua del lago di Bracciano. Nel 2016 e nel 2017 il lago era utilizzato come riserva idrica di emergenza per i comuni limitrofi e per l'approvvigionamento di Roma. Nel 2017 si è deciso di interrompere i prelievi, sospensione tuttora in atto. I valori del livello, in decimetri rispetto allo zero idrometrico, dal 2016 al 2026 sono: meno sei, meno sedici, meno venti, meno diciotto, meno sedici, meno quattordici, meno dodici, meno dieci, meno dieci, meno dieci, meno dieci. Si scelga un sistema di riferimento in cui l'unità sull'asse delle ascisse corrisponda a un anno, con il primo gennaio duemilasedici corrispondente allo zero, e sull'asse delle ordinate l'unità corrisponda a un decimetro rispetto allo zero idrometrico. Dall'inizio del duemilasedici all'inizio del duemiladiciannove si descrive l'andamento con il modello polinomiale: ipsilon uguale a, a per, ics meno due, alla quarta, più, b per, ics meno due, al cubo, più, c per, ics meno due, al quadrato, meno venti, con a, b e c numeri reali. Tra l'inizio del duemiladiciannove e l'inizio del duemilaventitré si assume una crescita oscillante, modello: ipsilon uguale a emme per ics, meno ventiquattro, più seno quadrato di pi greco ics, con emme numero reale. Fino all'inizio del duemilaventisei, il modello è: ipsilon uguale a due coseno di due pi greco ics, più cappa, con cappa numero reale.

a)

Utilizzando i dati riportati in tabella e le informazioni fornite, definire il modello matematico $ f(x) $ che esprime l'andamento del livello delle acque del lago in funzione del tempo, dopo aver determinato i valori dei parametri.

Punto a. Utilizzando i dati riportati in tabella e le informazioni fornite, definire il modello matematico effe di ics che esprime l'andamento del livello delle acque del lago in funzione del tempo, dopo aver determinato i valori dei parametri.

Soluzione del punto a

Determinazione di a, b, c (tratto 2016–2019, $0 \le x < 3$)

Nel sistema di riferimento scelto: 2016 corrisponde a $x=0$, 2017 a $x=1$, 2018 a $x=2$, 2019 a $x=3$. Imponiamo il passaggio del modello per i punti noti dalla tabella. Spiegazione del metodo: dato che il modello ha tre parametri incogniti (a, b, c), servono tre equazioni indipendenti, ottenute imponendo che la curva passi per tre punti noti della tabella (corrispondenti a $x=0,1,3$).

Per $x=0$, $y=-6$:

\[ -6 = 16a - 8b + 4c - 20 \;\Rightarrow\; 16a-8b+4c=14 \quad (1) \]

Per $x=1$, $y=-16$:

\[ -16 = a-b+c-20 \;\Rightarrow\; a-b+c=4 \quad (2) \]

Nota: per $x=2$ si ha $(x-2)=0$, quindi il modello dà sempre $y=-20$ qualunque siano $a,b,c$ — il dato 2018 è automaticamente soddisfatto, ma non fornisce alcuna informazione utile a determinare i parametri. Serve quindi un terzo punto diverso, cioè $x=3$.

Il valore $y=-18$ è il dato misurato a inizio 2019 ($x=3$). Poiché il primo tratto è definito su $[0,3)$, il valore corretto si ottiene come limite sinistro; essendo una funzione polinomiale, continua su $\mathbb{R}$, tale limite coincide con la sostituzione diretta di $x=3$:

\[ \lim_{x\to3^-}\big[a(x-2)^3+b(x-2)^2+c(x-2)-20\big]=-18 \] \[ \Longrightarrow\; a+b+c=2 \quad (3) \]

Sottraendo la (2) dalla (3) si elimina subito $a$ e $c$, trovando direttamente $b$:

\[ (a+b+c)-(a-b+c)=2-4 \;\Rightarrow\; 2b=-2 \;\Rightarrow\; b=-1 \]

Dalla (3): $a+c=3$, cioè $c=3-a$. Sostituendo nella (1):

\[ 16a+8+12-4a=14 \;\Rightarrow\; 12a=-6 \;\Rightarrow\; a=-\tfrac12 \]

Ricaviamo infine $c$ dalla relazione $c=3-a$ trovata sopra:

\[ c = 3-a = 3-\left(-\tfrac12\right) = \tfrac72 \]

$ a=-\dfrac12, \qquad b=-1, \qquad c=\dfrac72 $

Determinazione di m (tratto 2019–2023, $3 \le x \le 7$)

Imponendo la continuità in $x=3$ con il valore $y=-18$ già trovato:

\[ -18 = 3m-24+\text{sen}^2(3\pi) = 3m-24 \;\Rightarrow\; m=2 \]

Per $3 < x \le 7$: $ y = 2x-24+\text{sen}^2(\pi x) $

Determinazione di k (tratto 2023–2026, $7 < x \le 10$)

Usiamo il dato del 2024, cioè $x=8$, $y=-10$ (valore incluso nel dominio del tratto):

\[ -10 = 2\cos(16\pi)+k = 2+k \;\Rightarrow\; k=-12 \]

Modello completo

\[ f(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}(x-2)^4 - (x-2)^3 + \dfrac{7}{2}(x-2)^2 - 20, & 0 \le x < 3 \\[2mm] 2x - 24 + \text{sen}^2(\pi x), & 3 \le x \le 7 \\[2mm] 2\cos(2\pi x) - 12, & 7 < x \le 10 \end{cases} \]

b)

Si assuma come modello descrittivo dell'andamento idrometrico del lago la funzione $f(x)$ definita a tratti al punto precedente. Studiare $ f $ e tracciare un suo grafico, dopo aver verificato la continuità, studiato la derivabilità e determinato i punti di estremo relativo.

Punto b. Si assuma come modello descrittivo dell'andamento idrometrico del lago la funzione effe di ics definita a tratti al punto precedente. Studiare effe e tracciare un suo grafico, dopo aver verificato la continuità, studiato la derivabilità e determinato i punti di estremo relativo.

Soluzione del punto b

Continuità

La funzione è costituita da tratti di funzioni continue su tutto $\mathbb{R}$ (una polinomiale, una funzione goniometrica, un coseno), quindi è sufficiente verificare la continuità nei punti di raccordo $x=3$ e $x=7$: una funzione definita a tratti è continua in un punto di raccordo se il limite calcolato da sinistra coincide con quello calcolato da destra (e con il valore della funzione in quel punto).

In $x=3$: dal primo tratto $\lim_{x\to3^-}f(x)=-\tfrac12-1+\tfrac72-20=-18$; dal secondo tratto $f(3)=6-24+\text{sen}^2(3\pi)=-18$. I valori coincidono: f è continua in x = 3.

In $x=7$: dal secondo tratto $f(7)=14-24+\text{sen}^2(7\pi)=-10$; dal terzo tratto $\lim_{x\to7^+}f(x)=2\cos(14\pi)-12=-10$. Coincidono: f è continua in x = 7. Quindi f è continua su tutto $[0;10]$.

Derivabilità

Ogni tratto è anche derivabile su tutto $\mathbb{R}$ (polinomi e funzioni goniometriche lo sono sempre), quindi resta da controllare solo i punti di raccordo $x=3$ e $x=7$: oltre alla continuità, serve che le derivate sinistra e destra coincidano in quel punto; se invece sono diverse, la funzione non è derivabile in quel punto. Calcoliamo le derivate dei singoli tratti e ne confrontiamo i limiti per $x\to3$ e $x\to7$: questo è un criterio sufficiente, ma non necessario, per la derivabilità (in caso di esito negativo o dubbio si dovrebbe ricorrere alla definizione con il rapporto incrementale).

In $x=3$: derivata del primo tratto $f'(x)=-2(x-2)^3-3(x-2)^2+7(x-2)$, da cui $f'_-(3)=-2-3+7=2$. Derivata del secondo tratto $f'(x)=2+\pi\,\text{sen}(2\pi x)$, da cui $f'_+(3)=2+\pi\,\text{sen}(6\pi)=2$. Coincidono: f è derivabile in x = 3.

In $x=7$: derivata del secondo tratto, $f'_-(7)=2+\pi\,\text{sen}(14\pi)=2$. Derivata del terzo tratto $f'(x)=-4\pi\,\text{sen}(2\pi x)$, da cui $f'_+(7)=-4\pi\,\text{sen}(14\pi)=0$. Sono diverse ($2\neq0$): f NON è derivabile in x = 7, punto angoloso.

Primo tratto: $0 \le x < 3$

\[ f'(x) = -2(x-2)^3-3(x-2)^2+7(x-2) =\] \[=(x-2)\big[-2(x-2)^2-3(x-2)+7\big] \]

Sviluppiamo il trinomio $g(x)=-2(x-2)^2-3(x-2)+7$ tra parentesi quadre:

\[ g(x) = -2(x^2-4x+4)-3x+6+7 = -2x^2+5x+5 \]

Discriminante: $\Delta=25+40=65$, da cui le radici

\[ x = \frac{5\pm\sqrt{65}}{-4} \quad\Rightarrow\quad x\approx-0{,}77 \;\; \text{e} \;\; x\approx3{,}27 \]

entrambe fuori dal dominio $[0,3)$. Essendo $g$ una parabola con concavità verso il basso (coefficiente di $x^2$ negativo), $g$ è positivo proprio tra le due radici, intervallo che contiene per intero $[0,3)$.

Quindi $g(x)>0$ per ogni $x\in[0,3)$: il segno di $f'$ coincide con quello di $(x-2)$, perciò f è decrescente per $0\le x <2$ e crescente per $2<x<3$.

$x=2$ è punto di minimo relativo, con $f(2)=-20$. $x=0$ è un massimo di frontiera, con $f(0)=-6$.

Studiando la derivata seconda $f''(x)=-6(x-2)^2-6(x-2)+7$ si trovano due flessi interni al dominio: $x_1\approx0{,}31$ ($f\approx-9{,}25$) e $x_2\approx2{,}69$ ($f\approx-18{,}77$), con concavità verso l'alto tra di essi e verso il basso altrove.

Grafico del primo tratto della funzione, da 0 a 3

Legenda: A=(0,-6) massimo di frontiera, F₁≈(0,31;-9,25) e F₂≈(2,69;-18,77) punti di flesso, m=(2,-20) minimo, D=(3,-18) estremo del tratto.

Secondo tratto: $3 \le x \le 7$

\[ f'(x) = 2 + \pi\,\text{sen}(2\pi x) \]

Poiché $\pi\,\text{sen}(2\pi x)$ oscilla tra $-\pi$ e $\pi$ (con $\pi\approx3{,}14$), $f'$ non ha segno costante: la funzione non è monotòna, ma presenta piccole oscillazioni periodiche di periodo 1. Cerchiamo i punti critici risolvendo $f'(x)=0$:

\[ 2+\pi\,\text{sen}(2\pi x)=0 \quad\Rightarrow\quad \text{sen}(2\pi x) = -\frac{2}{\pi}\approx-0{,}64 \]

Le soluzioni di $\text{sen}(\alpha)=-0{,}64$ nel terzo e quarto quadrante sono $\alpha\approx\pi+0{,}69\approx3{,}83$ e $\alpha\approx2\pi-0{,}69\approx5{,}59$, più i multipli di $2\pi$. Ponendo $\alpha=2\pi x$ e dividendo per $2\pi$, si trovano le soluzioni periodiche, di periodo 1:

\[ x\approx n+0{,}61 \qquad \text{e} \qquad x\approx n+0{,}89, \qquad n\in\mathbb{Z} \]

Restringendo al dominio $[3,7]$ si ottengono $n=3,4,5,6$, cioè 8 punti critici in totale. Per classificarli basta osservare il segno di $\text{sen}(2\pi x)$ appena prima e dopo ciascuno: tra $x\approx n+0{,}61$ e $x\approx n+0{,}89$ il seno scende fino al minimo ($-1$ per $x=n+0{,}75$), quindi $f'<0$ e f decresce; fuori da questo intervallo $f'>0$ e f cresce. Dunque ogni punto $x\approx n+0{,}61$ è un massimo relativo (f passa da crescente a decrescente) e ogni $x\approx n+0{,}89$ è un minimo relativo (f passa da decrescente a crescente).

4 massimi relativi (in $x\approx n+0{,}61$) e 4 minimi relativi (in $x\approx n+0{,}89$) per n = 3, 4, 5, 6, di ampiezza molto piccola: ad esempio $f(3{,}61)\approx-21{,}90$ e $f(3{,}89)\approx-22{,}10$, un'oscillazione di soli $0{,}2$ dm rispetto al trend lineare di fondo $2x-24$.

Grafico del secondo tratto della funzione, da 3 a 7, con crescita oscillante

Legenda: crescita complessiva con piccole oscillazioni; punti interi R=(3,-18), G=(4,-16), H=(5,-14), I=(6,-12), J=(7,-10).

Terzo tratto: $7 < x \le 10$

È una funzione coseno di periodo 1, dilatata verticalmente di un fattore 2 e traslata in basso di 12 unità: oscilla regolarmente tra $-10$ (massimo) e $-14$ (minimo).

\[ f'(x) = -4\pi\,\text{sen}(2\pi x) \]

Massimi relativi in x = 8, 9 (e di frontiera in x = 10), con f = -10. Minimi relativi in x = 7,5; 8,5; 9,5, con f = -14.

Grafico del terzo tratto della funzione, da 7 a 10, onda periodica

Legenda: L=(7,-10), N=(8,-10), O=(9,-10), P=(10,-10) massimi relativi; minimi non etichettati in x=7,5; 8,5; 9,5.

Grafico complessivo

Unendo i tre tratti — continui ovunque, con un punto angoloso in $x=7$ — si ottiene il grafico complessivo di f su $[0;10]$:

Legenda: in rosso il 1° tratto (A=(0,-6), m=(2,-20)), in verde il 2° tratto, in viola il 3° tratto, con punto angoloso in Q=(7,-10).

c)

Giustificare la non applicabilità del teorema di Lagrange alla funzione $ f $ in $ [0; 10] $.

Esistono, tuttavia, punti di ascissa $ s \in \,]0; 10[\, $ tali che $ f'(s) = \dfrac{f(10) - f(0)}{10} $? Motivare la risposta.

Punto c. Giustificare la non applicabilità del teorema di Lagrange alla funzione effe nell'intervallo da zero a dieci. Esistono, tuttavia, punti di ascissa esse, interni all'intervallo da zero a dieci, tali che la derivata di effe in esse sia uguale al rapporto, effe di dieci meno effe di zero, fratto dieci? Motivare la risposta.

Soluzione del punto c

Non applicabilità del teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange richiede che f sia continua su $[0;10]$ e derivabile su tutto l'intervallo aperto $\,]0;10[\,$. La prima condizione è verificata (punto b). La seconda no: f non è derivabile in $x=7$ (punto angoloso), e $7\in\,]0;10[\,$. Mancando un'ipotesi del teorema, il teorema di Lagrange non è applicabile su $[0;10]$.

Significato geometrico della domanda

$Grafico della funzione e della retta $AP$ che congiunge gli estremi dell'intervallo$

Il rapporto richiesto vale:

\[ \frac{f(10)-f(0)}{10} = \frac{-10-(-6)}{10} = -0{,}4 \]

È il coefficiente angolare della secante $AP$ tra $A=(0;-6)$ e $P=(10;-10)$. Chiedersi se esiste $s$ con $f'(s)=-0{,}4$ equivale a chiedersi se in qualche punto la tangente è parallela alla secante AP.

Non potendo usare Lagrange sull'intero intervallo, f è comunque continua e derivabile separatamente sui tre tratti $[0;3]$, $[3;7]$, $[7;10]$: il teorema vale quindi su ciascuno di essi.

Conclusione tramite il teorema dei valori intermedi

Primo tratto: $f'$ è continua su $]0;3[$ e assume sia valori minori di $-0{,}4$ (es. $f'(0)=-10$) sia maggiori (es. $f'(3)=2$): per il teorema dei valori intermedi esiste almeno un punto in cui $f'(s)=-0{,}4$.

Secondo e terzo tratto: $f'$ oscilla periodicamente, rispettivamente tra circa $-1{,}14$ e $5{,}14$, e tra circa $-12{,}57$ e $12{,}57$: intervalli che contengono ampiamente $-0{,}4$, quindi per lo stesso motivo la pendenza $-0{,}4$ viene assunta più volte.

Sì: esistono punti s in ]0;10[ con f'(s) = -0,4 — in totale 15 valori, a causa delle oscillazioni periodiche del modello.

Calcolo dei valori di s

Primo tratto: risolvendo numericamente si trova un solo valore:

\[ s \approx 1{,}94 \]

Secondo tratto: da $\text{sen}(2\pi x)\approx-0{,}764$, in $]3;7[$ si trovano 8 valori:

\[ s \approx 3{,}64;\;3{,}86;\;4{,}64;\;4{,}86;\;5{,}64;\;5{,}86;\;6{,}64;\;6{,}86 \]

Terzo tratto: da $\text{sen}(2\pi x)\approx0{,}032$, in $]7;10[$ si trovano 6 valori:

\[ s \approx 7{,}01;\;7{,}49;\;8{,}01;\;8{,}49;\;9{,}01;\;9{,}49 \]

In totale 15 valori di s soddisfano la condizione richiesta.

d)

Spiegare perché il teorema della Media Integrale è applicabile alla funzione $ f $ in $ [0; 10] $. Calcolare, quindi, la variazione media $ \Delta h $ del livello delle acque del lago negli anni presi in esame.

Infine, considerando che la superficie del lago è di circa $ 57 \text{ km}^2 $, utilizzare $ \Delta h $ per stimare, in litri, la differenza del volume di acqua tra l'inizio del 2016 e l'inizio del 2026.

Punto d. Spiegare perché il teorema della media integrale è applicabile alla funzione effe nell'intervallo da zero a dieci. Calcolare, quindi, la variazione media delta acca del livello delle acque del lago negli anni presi in esame. Infine, considerando che la superficie del lago è di circa cinquantasette chilometri quadrati, utilizzare delta acca per stimare, in litri, la differenza del volume di acqua tra l'inizio del duemilasedici e l'inizio del duemilaventisei.

Soluzione del punto d

f è continua in $[0;10]$ (punto b), quindi è applicabile il teorema della media integrale: il valor medio $\Delta h$ è dato da

\[ \Delta h = \frac{1}{10-0}\int_0^{10} f(x)\,dx \]

Calcolo dell'integrale, tratto per tratto

Primo tratto:

\[ \int_0^3 f(x)\,dx = \left[-\frac{1}{10}(x-2)^5-\frac{1}{4}(x-2)^4+\frac{7}{6}(x-2)^3-20x\right]_0^3 = -49{,}05 \]

Secondo tratto:

\[ \int_3^7 f(x)\,dx = \left[x^2-\frac{47}{2}x-\frac{\text{sen}(2\pi x)}{4\pi}\right]_3^7 = -54 \]

Terzo tratto:

\[ \int_7^{10} f(x)\,dx = \left[\frac{\text{sen}(2\pi x)}{\pi}-12x\right]_7^{10} = -36 \]

Sommando i tre contributi:

\[ \int_0^{10} f(x)\,dx = -49{,}05-54-36 = -139{,}05 \]

$\Delta h = \dfrac{-139{,}05}{10} = -13{,}905 \text{ dm} = -1{,}3905 \text{ m}$

Nel decennio 2016–2026 il livello del lago si è attestato in media a circa $1{,}39$ m al di sotto dello zero idrometrico ottimale.

Stima della differenza di volume d'acqua

Superficie del lago: $S=57\text{ km}^2=57\cdot10^6\text{ m}^2$. Il volume medio mancante rispetto alla condizione ottimale è:

\[ V = S\cdot|\Delta h| = 57\cdot10^6 \cdot 1{,}3905 \approx 7{,}93\cdot10^7 \text{ m}^3 \]

Convertendo in litri ($1\text{ m}^3=1000$ litri):

$V \approx 7{,}93\cdot10^{10}$ litri

In base al modello della media integrale, nel periodo considerato è mancato un volume medio complessivo di circa 79,3 miliardi di litri rispetto allo zero idrometrico ottimale.

Motivazione della scelta per il volume

Il valore Δh = −13,905 dm è il valore medio del livello del lago nel decennio, non la variazione puntuale tra il 2016 e il 2026. Da qui la stima V ≈ 7,93·10¹⁰ litri, come richiesto dal testo.

Se invece si considerasse la variazione puntuale f(10)−f(0) = −4 dm, si otterrebbe V ≈ 2,28·10¹⁰ litri. Questa interpretazione, secondo noi, non è quella intesa dal testo.

L'interpretazione adottata si rafforza considerando tre elementi convergenti del testo ministeriale.

Primo: il testo chiede esplicitamente di utilizzare Δh. Se avesse voluto la differenza puntuale f(10)−f(0), quel valore si legge direttamente dalla tabella senza alcun integrale.

Secondo: la parola stimare. La differenza puntuale f(10)−f(0) = −4 dm è un dato esatto ricavabile dalla tabella; non è una stima. Il valor medio integrale introduce invece genuinamente un'approssimazione, coerente con il verbo stimare.

Terzo: l'espressione tra il 2016 e il 2026. In italiano "tra A e B" riferito al tempo può significare nell'arco di tempo compreso tra A e B, non necessariamente un confronto tra due istanti. In questa lettura, la grandezza richiesta sarebbe una misura distribuita sull'intero decennio, non una differenza puntuale tra i due estremi.

Altri forniscono interpretazioni diverse, legittime vista l'ambiguità della formulazione ministeriale; noi abbiamo esposto la nostra interpretazione, cercando di motivarla.

Liceo Scientifico – Esame di Stato 2026 – Problema 1 – Versione DSA

a)