www.matefilia.it
dal 2001
PROPRIETÀ DEGLI INSIEMI DI NUMERI REALI
(Versione DSA)
Ripasso per la classe quinta del Liceo Scientifico
Clicca su ciascuna sezione per aprirla o chiuderla. Puoi tenere aperte più sezioni contemporaneamente.
Che cos'è un intervallo
Un sottoinsieme \( I \) di \( \mathbb{R} \) si dice intervallo se, presi comunque due suoi elementi, tutti i numeri reali compresi fra essi appartengono ancora a \( I \). In simboli:
\[ \text{per ogni } x, y \in I \text{ con } x<y, \text{ se } x<z<y \text{ allora } z\in I \]Intuitivamente, un intervallo è un pezzo "unico e senza buchi" della retta reale: non è ammesso che manchi qualche numero intermedio, né che l'insieme sia spezzato in due o più parti separate.
Esempio
Quali dei seguenti insiemi sono intervalli?
a) \( [-2, 3) \) — sì, è un intervallo: contiene tutti i numeri reali compresi tra due suoi elementi qualsiasi.
b) \( \{1, 2, 3\} \) — no: contiene 1 e 2, ma non contiene, per esempio, \( 1{,}5 \), che sta fra loro.
c) \( (1,5] \cup (7,9) \) — no: contiene sia \( 4 \) sia \( 8 \), ma non contiene \( 6 \), che sta fra loro (l'insieme è "spezzato" in due pezzi separati).
d) \( (-\infty, 2] \cup [2, +\infty) \) — sì: questa unione in realtà coincide con \( \mathbb{R} \) stesso (i due pezzi si toccano in \( 2 \), senza lasciare buchi), quindi è un intervallo.
Intervalli limitati
Dati due numeri reali \( a \) e \( b \), con \( a<b \), si possono definire quattro intervalli limitati (cioè con entrambi gli estremi finiti), a seconda che gli estremi \( a \) e \( b \) siano inclusi oppure no:
- aperto: \( (a,b) = \{x\in\mathbb{R} : a<x<b\} \) — entrambi gli estremi esclusi;
- chiuso: \( [a,b] = \{x\in\mathbb{R} : a\leq x\leq b\} \) — entrambi gli estremi inclusi;
- chiuso a sinistra, aperto a destra: \( [a,b) = \{x\in\mathbb{R} : a\leq x<b\} \);
- aperto a sinistra, chiuso a destra: \( (a,b] = \{x\in\mathbb{R} : a<x\leq b\} \).
Gli ultimi due si dicono anche né aperti né chiusi (o semiaperti): non rientrano né nella categoria "aperto" né in quella "chiuso", perché uno dei due estremi è incluso e l'altro no.
Intervalli illimitati
Consideriamo un insieme di numeri reali del tipo \( x>a \) (tutti i numeri maggiori di \( a \), senza alcun limite superiore). Per indicare che questo insieme "non si ferma mai" verso destra, si usa il simbolo \( +\infty \) (più infinito), scrivendo
\[ x>a \quad \text{si indica anche} \quad a<x<+\infty \]Analogamente, un insieme del tipo \( x<b \) (tutti i numeri minori di \( b \)) si indica con
\[ x<b \quad \text{si indica anche} \quad -\infty<x<b \]e l'insieme di tutti i numeri reali si indica con
\[ -\infty<x<+\infty \]È importante ricordare che \( +\infty \) e \( -\infty \) non sono numeri reali: sono soltanto un simbolo, una scrittura comoda per dire "senza alcun limite" da quella parte. Proprio per questo non potranno mai essere inclusi in un intervallo: si scrivono sempre con la parentesi tonda, mai quadra.
Un intervallo illimitato è un insieme di numeri reali di uno dei seguenti tipi:
\[ (a,+\infty),\quad [a,+\infty),\quad (-\infty,b),\quad (-\infty,b] \]e, come caso estremo, l'intera retta reale \( (-\infty,+\infty)=\mathbb{R} \).
Intervalli limitati e illimitati
Un intervallo si dice limitato se entrambi i suoi estremi sono numeri reali (finiti); si dice illimitato se almeno uno dei due estremi è \( +\infty \) o \( -\infty \). Questa distinzione — limitato/illimitato — è la stessa che ritroveremo, in forma più generale, quando parleremo di insiemi limitati qualsiasi (non solo intervalli) nella prossima sezione.
Esempio
Classificare i seguenti intervalli (tipo ed eventuale limitatezza):
a) \( (-3, 7] \): intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, limitato.
b) \( [0, +\infty) \): intervallo chiuso a sinistra (illimitato a destra), illimitato.
c) \( (-\infty, -1) \): intervallo aperto, illimitato (sia a sinistra sia, di fatto, privo di un estremo destro finito).
d) \( \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \): illimitato da entrambi i lati.
Intorno di un punto
Dato un numero reale \( x_0 \), si chiama intorno di \( x_0 \) un qualsiasi intervallo aperto contenente \( x_0 \), cioè un intervallo del tipo
\[ I(x_0) = (x_0-\alpha,\; x_0+\beta), \qquad \text{con } \alpha>0 \text{ e } \beta>0 \]Si noti che \( \alpha \) e \( \beta \) non devono necessariamente essere uguali: un intorno di \( x_0 \) è un intervallo aperto qualunque, purché contenga \( x_0 \) al suo interno (non come estremo).
Quando in particolare \( \alpha=\beta=\delta \), l'intorno si dice circolare (o completo), ed è quello su cui lavoreremo quasi sempre da qui in avanti:
Intorno circolare di un punto
L'intorno circolare di \( x_0 \) di ampiezza \( \delta \) è l'intervallo aperto
\[ I_\delta(x_0) = (x_0-\delta,\; x_0+\delta) \]cioè l'insieme di tutti i numeri reali che distano da \( x_0 \) meno di \( \delta \). In modo equivalente, usando il valore assoluto:
\[ I_\delta(x_0) = \{\, x\in\mathbb{R} \mid |x-x_0|<\delta \,\} \]Il numero \( \delta \) si chiama raggio dell'intorno. Da questa definizione in poi, quando diremo semplicemente "un intorno di \( x_0 \)" intenderemo un intorno circolare di ampiezza \( \delta \) non specificata (o comunque abbastanza piccola).
Esempio
Determinare l'intorno circolare di \( x_0=3 \) di raggio \( \delta=0{,}5 \), e verificare se \( x=3{,}2 \) e \( x=2{,}4 \) ne fanno parte.
\[ I_{0{,}5}(3) = (3-0{,}5,\; 3+0{,}5) = (2{,}5,\; 3{,}5) \]Per \( x=3{,}2 \): \( |3{,}2-3| = 0{,}2 < 0{,}5 \), quindi \( 3{,}2\in I_{0{,}5}(3) \).
Per \( x=2{,}4 \): \( |2{,}4-3| = 0{,}6 \not< 0{,}5 \), quindi \( 2{,}4\notin I_{0{,}5}(3) \) (infatti \( 2{,}4<2{,}5 \), è fuori dall'intervallo).
Da dove viene il nome "circolare"? Se pensiamo \( x_0 \) come un punto del piano anziché della sola retta, l'intorno circolare di raggio \( \delta \) è proprio l'insieme dei punti interni alla circonferenza di centro \( x_0 \) e raggio \( \delta \) (circonferenza esclusa, come nella figura: da qui il termine "circolare"). Sulla retta reale — che possiamo vedere come un caso "degenere" del piano — questo disco si schiaccia in un segmento: la circonferenza si riduce ai due soli punti \( x_0-\delta \) e \( x_0+\delta \) (gli estremi esclusi), e il suo interno diventa l'intervallo \( (x_0-\delta,\, x_0+\delta) \).
Intorno destro e intorno sinistro
A volte è utile considerare solo una delle due "metà" dell'intorno circolare:
- intorno destro di \( x_0 \) di ampiezza \( \delta \): \( I_\delta^+(x_0) = [x_0,\; x_0+\delta) \);
- intorno sinistro di \( x_0 \) di ampiezza \( \delta \): \( I_\delta^-(x_0) = (x_0-\delta,\; x_0] \).
Osservazione: in questa definizione il punto \( x_0 \) appartiene sia all'intorno destro sia a quello sinistro. In alcuni contesti — tipicamente quando si parla di limite destro o limite sinistro di una funzione — conviene invece considerare \( x_0 \) escluso:
\[ I_\delta^+(x_0)\setminus\{x_0\} = (x_0,\; x_0+\delta) \qquad\qquad I_\delta^-(x_0)\setminus\{x_0\} = (x_0-\delta,\; x_0) \]Il punto \( x_0 \), cioè, può appartenere o no all'intorno destro/sinistro a seconda di ciò che serve studiare: nella definizione di intorno lo includiamo, ma è bene tenere presente che non è sempre così.
L'intorno circolare \( I_\delta(x_0) \) è l'unione dell'intorno sinistro e di quello destro:
\[ I_\delta(x_0) = I_\delta^-(x_0) \cup I_\delta^+(x_0) \]Poiché sia \( I_\delta^-(x_0) \) sia \( I_\delta^+(x_0) \) contengono il punto \( x_0 \), anche l'intorno completo \( I_\delta(x_0) \) contiene \( x_0 \) (una sola volta, come avviene per ogni insieme quando si fa l'unione di due sue parti che si sovrappongono).
Esempio
Determinare l'intorno destro e l'intorno sinistro di \( x_0=5 \) di ampiezza \( \delta=0{,}25 \), e verificare se \( x=5 \), \( x=4{,}8 \) e \( x=5{,}2 \) ne fanno parte.
\[ I_{0{,}25}^-(5) = (4{,}75,\; 5] \qquad\qquad I_{0{,}25}^+(5) = [5,\; 5{,}25) \]Il punto \( x_0=5 \) appartiene sia all'intorno sinistro sia a quello destro (è l'estremo incluso di entrambi).
Il punto \( x=4{,}8 \) appartiene solo all'intorno sinistro: \( 4{,}75<4{,}8\leq5 \), ma non è vero che \( 5\leq4{,}8 \).
Il punto \( x=5{,}2 \) appartiene solo all'intorno destro: \( 5\leq5{,}2<5{,}25 \), ma non è vero che \( 4{,}75<5{,}2\leq5 \).
Questo esempio mostra bene perché la scelta di includere o no \( x_0 \) fa la differenza: se avessimo escluso \( x_0 \) da entrambi gli intorni (come si fa per i limiti destro/sinistro), il punto \( x=5 \) non apparterrebbe né all'uno né all'altro.
Maggioranti e insiemi superiormente limitati
Sia \( E \) un insieme di numeri reali. Un numero reale \( k \) si dice maggiorante di \( E \) se
\[ x\leq k \quad \text{per ogni } x\in E \]cioè se nessun elemento di \( E \) supera \( k \). Se \( E \) ammette almeno un maggiorante, si dice superiormente limitato. Se invece \( E \) non ammette alcun maggiorante — cioè, per ogni numero reale \( k \) esiste almeno un elemento di \( E \) maggiore di \( k \) — si dice superiormente illimitato.
Esempio
L'insieme \( \mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\} \) è superiormente illimitato: qualunque numero \( k \) si scelga, esiste sempre un numero naturale più grande di \( k \).
L'insieme \( E=(2,5) \) è invece superiormente limitato: per esempio \( k=5 \) è un maggiorante (e lo sono anche \( 6 \), \( 100 \), ecc. — i maggioranti non sono unici).
Minoranti e insiemi inferiormente limitati
In modo del tutto analogo, un numero reale \( k \) si dice minorante di \( E \) se
\[ x\geq k \quad \text{per ogni } x\in E \]Se \( E \) ammette almeno un minorante, si dice inferiormente limitato; se non ne ammette alcuno — per ogni \( k \) esiste un elemento di \( E \) minore di \( k \) — si dice inferiormente illimitato.
Esempio
L'insieme \( \mathbb{N} \) è inferiormente limitato: \( k=0 \) è un minorante (e così ogni \( k\leq 0 \)).
L'insieme \( \mathbb{Z} \) (gli interi relativi) non è né superiormente né inferiormente limitato: comunque si scelga \( k \), esistono sempre interi più grandi e interi più piccoli di \( k \).
Insiemi limitati e illimitati
Un insieme \( E \) si dice limitato se è sia superiormente sia inferiormente limitato, cioè se ammette almeno un maggiorante e almeno un minorante. Equivalentemente, \( E \) è limitato se esiste un numero reale \( M>0 \) tale che
\[ |x|\leq M \quad \text{per ogni } x\in E \](tutto \( E \) sta cioè "dentro" un intorno circolare dell'origine di raggio \( M \)). Se manca almeno una delle due limitatezze, \( E \) si dice illimitato.
Esempio
Consideriamo \( E=\left\{\dfrac{1}{n} : n=1,2,3,\dots\right\} = \left\{1,\ \dfrac12,\ \dfrac13,\ \dfrac14,\ \dots\right\} \).
\( E \) è superiormente limitato: \( 1 \) è un maggiorante (ed è anche il più grande elemento di \( E \)).
\( E \) è inferiormente limitato: \( 0 \) è un minorante, pur non appartenendo a \( E \) (nessun elemento di \( E \) è mai minore o uguale a \( 0 \)).
Essendo sia superiormente sia inferiormente limitato, \( E \) è limitato: infatti \( |x|\leq 1 \) per ogni \( x\in E \).
Estremo superiore
Riprendiamo l'insieme \( E=(2,5) \) della sezione precedente. I suoi maggioranti sono tutti i numeri \( k\geq5 \): tra tutti questi, \( 5 \) è il più piccolo. Questa è già, in sostanza, la definizione di estremo superiore:
L'estremo superiore di \( E \), che indichiamo con \( S=\sup E \), è il più piccolo dei maggioranti di \( E \).
Questa frase basta a ricordare che cos'è, ma per poterlo dimostrare rigorosamente su un insieme dato serve un modo per esprimere "il più piccolo" senza dover confrontare \( S \) con tutti gli infiniti maggioranti uno per uno. L'idea è questa: se \( S \) è davvero il più piccolo dei maggioranti, allora un numero anche di pochissimo inferiore a \( S \) — diciamo \( S-\varepsilon \), con \( \varepsilon>0 \) piccolo quanto si vuole — non può più essere un maggiorante: deve esistere almeno un elemento di \( E \) che lo supera. Se così non fosse, \( S-\varepsilon \) sarebbe un maggiorante più piccolo di \( S \), contraddicendo il fatto che \( S \) è il più piccolo.
Formalizziamo. \( S \) è l'estremo superiore di \( E \) (\( S=\sup E \)) se valgono entrambe le condizioni seguenti:
\[ 1)\quad x\leq S \ \ \text{per ogni } x\in E \qquad \text{(} S \text{ è un maggiorante)} \] \[ 2)\quad \text{per ogni } \varepsilon>0 \ \text{esiste almeno un } x\in E \ \text{tale che} \ x>S-\varepsilon \]La condizione 1) dice che \( S \) è un maggiorante; la condizione 2) dice che nessun numero minore di \( S \) può esserlo — cioè che \( S \) è il più piccolo tra i maggioranti.
Esempio (dimostrazione)
Dimostrare, usando la definizione, che \( S=5 \) è l'estremo superiore di \( E=(2,5) \).
1) \( S \) è un maggiorante: per ogni \( x\in E=(2,5) \) si ha \( x<5 \), quindi in particolare \( x\leq5 \). ✓
2) Per ogni \( \varepsilon>0 \) esiste \( x\in E \) con \( x>5-\varepsilon \): prendiamo \( \varepsilon \) piccolo a piacere (per \( \varepsilon \) grande, per esempio \( \varepsilon\geq3 \), la proprietà è banalmente verificata da un qualsiasi \( x\in E \); ha senso quindi concentrarsi sul caso \( \varepsilon \) piccolo, quando \( 5-\varepsilon \) cade proprio dentro \( E \)). Scegliamo \( x=5-\dfrac{\varepsilon}{2} \): si ha \( x\in(2,5) \) (perché \( 5-\varepsilon<5-\frac{\varepsilon}{2}<5 \)) e \( x>5-\varepsilon \). ✓
Essendo verificate entrambe le condizioni, \( S=5=\sup E \). \( \blacksquare \)
Esempio (dimostrazione)
Sia \( E=\left\{x\in\mathbb{R} : x=1+\dfrac1n,\ n\in\mathbb{N},\ n\neq0\right\}=\left\{2,\ \dfrac32,\ \dfrac43,\ \dfrac54,\ \dots\right\} \). Dimostrare che \( S=2 \) è l'estremo superiore di \( E \).
1) \( S \) è un maggiorante: per ogni \( n\geq1 \) si ha \( \dfrac1n\leq1 \), quindi \( x=1+\dfrac1n\leq2 \) per ogni \( x\in E \). ✓
2) Per ogni \( \varepsilon>0 \) esiste \( x\in E \) con \( x>2-\varepsilon \): basta osservare che \( x=2\in E \) stesso (si ottiene con \( n=1 \)), e \( 2>2-\varepsilon \) per ogni \( \varepsilon>0 \). ✓
Quindi \( S=2=\sup E \). In questo caso, essendo \( 2\in E \), \( S \) è anche il massimo di \( E \) (lo riprendiamo tra poco). \( \blacksquare \)
Estremo inferiore
In modo perfettamente simmetrico:
L'estremo inferiore di \( E \), che indichiamo con \( s=\inf E \), è il più grande dei minoranti di \( E \).
Formalmente, \( s \) è l'estremo inferiore di \( E \) (\( s=\inf E \)) se:
\[ 1)\quad x\geq s \ \ \text{per ogni } x\in E \qquad \text{(} s \text{ è un minorante)} \] \[ 2)\quad \text{per ogni } \varepsilon>0 \ \text{esiste almeno un } x\in E \ \text{tale che} \ x<s+\varepsilon \]Anche qui, la condizione 2) dice che nessun numero maggiore di \( s \) può essere un minorante: \( s \) è il più grande di essi.
Esempio (dimostrazione)
Dimostrare che \( s=2 \) è l'estremo inferiore di \( E=(2,5) \).
1) \( s \) è un minorante: per ogni \( x\in E \) si ha \( x>2 \), quindi \( x\geq2 \). ✓
2) Per ogni \( \varepsilon>0 \) esiste \( x\in E \) con \( x<2+\varepsilon \): prendiamo \( \varepsilon \) piccolo a piacere (per \( \varepsilon \) grande la proprietà è banale) e scegliamo \( x=2+\dfrac{\varepsilon}{2} \): si ha \( x\in(2,5) \) e \( x<2+\varepsilon \). ✓
Quindi \( s=2=\inf E \). \( \blacksquare \)
Esempio (dimostrazione)
Riprendiamo l'insieme già visto \( E=\left\{\dfrac1n : n=1,2,3,\dots\right\} \). Dimostrare che \( s=0 \) è l'estremo inferiore di \( E \).
1) \( s \) è un minorante: \( \dfrac1n>0 \) per ogni \( n\geq1 \), quindi \( x\geq0 \) per ogni \( x\in E \). ✓
2) Per ogni \( \varepsilon>0 \) esiste \( x\in E \) con \( x<0+\varepsilon=\varepsilon \): basta scegliere \( n \) abbastanza grande da avere \( \dfrac1n<\varepsilon \) — cosa sempre possibile, qualunque sia \( \varepsilon>0 \) (per esempio un \( n \) intero maggiore di \( \dfrac1\varepsilon \)). Allora \( x=\dfrac1n\in E \) soddisfa \( x<\varepsilon \). ✓
Quindi \( s=0=\inf E \) — pur non appartenendo a \( E \) (nessun \( 1/n \) è mai uguale a \( 0 \)). \( \blacksquare \)
Massimo e minimo
Un elemento \( M\in E \) si dice massimo di \( E \) se è anche un maggiorante di \( E \), cioè se \( x\leq M \) per ogni \( x\in E \): in altre parole, \( M \) è il più grande elemento che appartiene effettivamente a \( E \). In modo analogo, un elemento \( m\in E \) si dice minimo di \( E \) se è anche un minorante di \( E \).
A differenza dell'estremo superiore e di quello inferiore — che, come vedremo, esistono sempre per un insieme limitato — il massimo e il minimo possono non esistere. Quando però esistono, coincidono rispettivamente con l'estremo superiore e con l'estremo inferiore:
- se \( E \) ha massimo \( M \), allora \( M=\sup E=S \);
- se \( E \) ha minimo \( m \), allora \( m=\inf E=s \).
Il viceversa non vale sempre: \( \sup E \) può esistere senza che \( E \) abbia massimo — esattamente quando \( \sup E \) non appartiene a \( E \).
Esempio
Confrontiamo \( E_1=(2,5) \) ed \( E_2=[2,5] \):
\( E_1=(2,5) \): \( S=\sup E_1=5 \), ma \( 5\notin E_1 \), quindi \( E_1 \) non ha massimo. Allo stesso modo \( s=\inf E_1=2\notin E_1 \): \( E_1 \) non ha minimo.
\( E_2=[2,5] \): \( S=\sup E_2=5 \) e stavolta \( 5\in E_2 \), quindi \( E_2 \) ha massimo \( M=5 \). Analogamente \( s=\inf E_2=2\in E_2 \): \( E_2 \) ha minimo \( m=2 \).
E l'insieme \( E=\{1+1/n\} \) visto sopra? Ha \( S=\sup E=2 \), con \( 2\in E \): quindi \( E \) ha massimo \( M=2 \). Ha invece \( s=\inf E=1 \), ma \( 1\notin E \) (nessun \( 1+1/n \) è mai uguale a \( 1 \)): quindi \( E \) non ha minimo.
E per le funzioni? Quando si dice che una funzione \( f \), definita su un insieme \( D \), è superiormente/inferiormente limitata, oppure che ammette estremo superiore, estremo inferiore, massimo o minimo, ci si riferisce sempre al suo insieme immagine
\[ \text{Im}(f) = \{\, f(x) : x\in D \,\} \]cioè all'insieme dei valori che \( f \) assume — non al suo dominio. Per esempio, la funzione \( f(x)=\sin x \), definita su tutto \( \mathbb{R} \), ha \( \text{Im}(f)=[-1,1] \): quindi \( f \) è limitata, con \( \sup f = M = 1 \) e \( \inf f = m = -1 \) (entrambi raggiunti, quindi sono anche massimo e minimo). La funzione \( f(x)=\dfrac1x \), definita su \( (0,+\infty) \), ha invece \( \text{Im}(f)=(0,+\infty) \): è inferiormente limitata con \( \inf f = 0 \), ma \( 0 \) non è mai raggiunto (nessun \( x \) dà \( f(x)=0 \)), quindi \( f \) non ha minimo; ed è superiormente illimitata, quindi non ha né estremo superiore né massimo.
Punto di accumulazione
Sia \( E \) un insieme di numeri reali. Un numero reale \( c \) si dice punto di accumulazione per \( E \) se in ogni intorno di \( c \) cade almeno un punto di \( E \) diverso da \( c \):
\[ \text{per ogni intorno } I(c), \quad \big(I(c)\setminus\{c\}\big)\cap E \neq \emptyset \]Da notare due cose importanti: primo, \( c \) non deve necessariamente appartenere a \( E \); secondo, nella definizione chiediamo un punto di \( E \) diverso da \( c \) — non basterebbe che \( c \) stesso appartenesse a \( E \).
Osservazione: dalla definizione segue che in ogni intorno di un punto di accumulazione \( c \) cadono in realtà infiniti punti di \( E \), e non solo uno. Infatti, se un intorno ne contenesse solo un numero finito \( x_1,\dots,x_n \) (tutti diversi da \( c \)), basterebbe prendere un intorno più piccolo di raggio inferiore alla minima delle distanze \( |x_i-c| \) per ottenere un intorno privo di punti di \( E\setminus\{c\} \) — contraddicendo la definizione.
Da qui segue anche che un insieme finito non può avere punti di accumulazione: un insieme con un numero finito di elementi non può mai "addensarsi" infinite volte attorno a nessun punto.
Esempio
Nell'insieme \( E=(0,1)\cup\{2\} \) già usato in figura: ogni punto dell'intervallo \( (0,1) \) è di accumulazione per \( E \) (perché ogni suo intorno, per piccolo che sia, interseca \( (0,1) \) in infiniti punti). Anche \( c=0 \) e \( c=1 \) sono punti di accumulazione per \( E \), pur non appartenendo a \( E \): ogni loro intorno contiene comunque punti di \( (0,1)\subset E \). Il punto \( 2 \), invece, non è di accumulazione: basta un intorno di raggio, per esempio, \( 0{,}3 \) per non contenere nessun altro punto di \( E \) oltre a \( 2 \) stesso.
Un altro esempio già incontrato: nell'insieme \( \left\{\dfrac1n : n=1,2,3,\dots\right\} \) della Sezione 3, il punto \( c=0 \) è di accumulazione (i punti \( \frac1n \) si addensano verso \( 0 \) al crescere di \( n \)), pur non appartenendo all'insieme.
Punto isolato
Un punto \( x_0 \) si dice isolato per \( E \) se \( x_0\in E \) e non è un punto di accumulazione per \( E \): cioè se esiste almeno un intorno di \( x_0 \) che non contiene nessun altro punto di \( E \) oltre a \( x_0 \) stesso.
A differenza del punto di accumulazione, un punto isolato deve necessariamente appartenere a \( E \): non avrebbe senso chiamare "isolato" un punto che non fa parte dell'insieme.
Esempio
Nell'insieme \( E=(0,1)\cup\{2\} \), il punto \( 2 \) è isolato: come mostra la figura, l'intorno di \( 2 \) di raggio \( 0{,}3 \) — cioè \( (1{,}7,\ 2{,}3) \) — non contiene nessun altro punto di \( E \).
Classificazione completa: un esempio
Riprendiamo ancora \( E=(0,1)\cup\{2\} \) e classifichiamo ogni suo punto:
- ogni \( x\in(0,1) \) è un punto di accumulazione per \( E \);
- \( x=2 \) è un punto isolato di \( E \).
Non ci sono altri casi: ogni punto di \( E \) rientra in una delle due categorie, e le due categorie si escludono a vicenda (per definizione, "isolato" significa proprio "non di accumulazione"). Da notare che \( 0 \) e \( 1 \) sono anch'essi punti di accumulazione per \( E \), ma non compaiono in questa classificazione perché non appartengono a \( E \): non possono essere isolati (serve appartenere a \( E \)) né, in questo contesto, li contiamo tra "i punti di \( E \)". Punti come questi — di accumulazione per \( E \) ma esterni a \( E \) — sono un caso particolare di ciò che chiameremo punti di frontiera nella prossima sezione.
Teorema di Bolzano–Weierstrass (senza dimostrazione): ogni insieme limitato e infinito di numeri reali ammette almeno un punto di accumulazione.
Punto interno
Sia \( E \) un insieme di numeri reali e \( x_0 \) un numero reale. \( x_0 \) si dice interno a \( E \) se \( x_0 \) appartiene a \( E \) ed esiste un intorno \( I(x_0) \) tale che
\[ I(x_0)\subseteq E \]cioè se \( x_0 \) ha un intero intorno che sta tutto dentro \( E \), non solo qualche punto qua e là.
Nota: la condizione "\( x_0 \) appartiene a \( E \)" è in realtà già una conseguenza dell'altra: se esiste un intorno \( I(x_0) \) tutto contenuto in \( E \), allora \( x_0 \) stesso — che fa sempre parte di ogni suo intorno — appartiene a \( E \). La scriviamo comunque in modo esplicito, perché è facile pensare, sbagliando, che "interno" significhi soltanto "appartiene a \( E \)": non basta, serve anche l'intero intorno dentro \( E \).
Punto esterno
\( x_0 \) si dice esterno a \( E \) se \( x_0 \) non appartiene a \( E \) ed esiste un intorno \( I(x_0) \) tale che
\[ I(x_0)\cap E=\emptyset \]cioè se \( x_0 \) ha un intero intorno che non contiene nessun punto di \( E \) (di conseguenza, nemmeno \( x_0 \) può appartenere a \( E \)). Anche qui, occhio a un errore comune: non basta che \( x_0 \) non appartenga a \( E \) per dire che è esterno — un punto di frontiera non appartenente a \( E \), come vedremo tra poco, non è mai esterno.
Esempio
Nell'insieme \( E=(0,1)\cup\{2\} \): ogni punto di \( (0,1) \) è interno a \( E \) (basta un intorno abbastanza piccolo, tutto contenuto in \( (0,1) \)). Il punto \( 2 \), pur appartenendo a \( E \), non è interno: qualsiasi intorno di \( 2 \), per piccolo che sia, contiene sempre punti che non appartengono a \( E \) (per esempio \( 2{,}01 \)). Tutti i punti al di fuori di \( [0,1]\cup\{2\} \) — come \( p=1{,}5 \) oppure \( -3 \) — sono esterni a \( E \).
Punto di frontiera
Un punto che non è né interno né esterno a \( E \) si dice di frontiera per \( E \): ciò significa che ogni suo intorno contiene sia punti di \( E \) sia punti che non appartengono a \( E \). Un punto di frontiera può appartenere a \( E \) oppure no: se non vi appartiene, è un punto di accumulazione per \( E \).
L'insieme di tutti i punti di frontiera di \( E \) si chiama frontiera di \( E \), e si indica con \( \text{Fr}(E) \) (in Analisi Matematica si usa anche il simbolo \( \partial E \), che ricorda quello della derivata parziale).
Aggiungendo a \( E \) la sua frontiera si ottiene un altro insieme importante, la chiusura di \( E \), indicata con \( \overline{E} \) (\( E \) con la barra sopra):
\[ \overline{E} = E \cup \text{Fr}(E) \]Questi due insiemi, \( \text{Fr}(E) \) e \( \overline{E} \), torneranno utili nella prossima sezione per caratterizzare gli insiemi aperti e chiusi.
Osservazione: ogni punto isolato di \( E \) è sempre anche un punto di frontiera per \( E \). Infatti, per definizione di punto isolato \( x_0 \), esiste un intorno di \( x_0 \) privo di altri punti di \( E \): quell'intorno contiene quindi \( x_0 \) stesso (che è in \( E \)) e, tutt'intorno, solo punti non appartenenti a \( E \) — la firma esatta di un punto di frontiera.
Esempio
Sempre in \( E=(0,1)\cup\{2\} \): i punti di frontiera sono \( 0 \), \( 1 \) e \( 2 \), quindi \( \text{Fr}(E)=\{0,1,2\} \). Dei tre, solo \( 2 \) appartiene a \( E \) (essendo un punto isolato, come osservato sopra); \( 0 \) e \( 1 \) sono di frontiera pur non appartenendo a \( E \) — sono infatti gli stessi punti di accumulazione già incontrati nella sezione precedente. La chiusura di \( E \) è quindi \( \overline{E}=E\cup\text{Fr}(E)=[0,1]\cup\{2\} \).
Riassumendo, per ogni numero reale \( x_0 \) (appartenga o no a \( E \)) vale uno e uno solo dei tre casi: \( x_0 \) è interno a \( E \), oppure esterno a \( E \), oppure di frontiera per \( E \).
Insieme aperto
Un insieme \( E\subseteq\mathbb{R} \) si dice aperto se ogni suo punto è interno a \( E \). Usando la frontiera introdotta nella sezione precedente, questo equivale a dire che \( E \) non contiene nessuno dei propri punti di frontiera:
\[ E \text{ è aperto} \quad\Longleftrightarrow\quad E\cap\text{Fr}(E)=\emptyset \]Esempio (dimostrazione)
Dimostrare che l'intervallo \( (a,b) \) è un insieme aperto.
Sia \( x\in(a,b) \) un punto qualsiasi. Poniamo
\[ \delta = \min(x-a,\ b-x) \qquad (\delta>0, \text{ perché sia } x-a \text{ sia } b-x \text{ sono positivi}) \]Allora l'intorno \( I_\delta(x)=(x-\delta,\,x+\delta) \) è tutto contenuto in \( (a,b) \): infatti \( \delta\leq x-a \) dà \( x-\delta\geq a \), e \( \delta\leq b-x \) dà \( x+\delta\leq b \). Avendo trovato, per ogni \( x\in(a,b) \), un intorno tutto dentro \( (a,b) \), ogni punto di \( (a,b) \) è interno: \( (a,b) \) è aperto. \( \blacksquare \)
Insieme chiuso
Un insieme \( E\subseteq\mathbb{R} \) si dice chiuso se contiene tutta la propria frontiera:
\[ E \text{ è chiuso} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{Fr}(E)\subseteq E \quad\Longleftrightarrow\quad E=\overline{E} \]Esempio (dimostrazione)
Dimostrare che l'intervallo \( [a,b] \) è un insieme chiuso.
Dalla dimostrazione precedente, ogni punto di \( (a,b) \) è interno anche a \( [a,b] \) (lo stesso \( \delta \) funziona). I punti esterni a \( [a,b] \) sono tutti gli \( x<a \) oppure \( x>b \) (basta un intorno abbastanza piccolo, tutto fuori dall'intervallo). Restano solo \( a \) e \( b \): ogni loro intorno contiene sia punti di \( [a,b] \) sia punti fuori da esso, quindi sono di frontiera. Dunque \( \text{Fr}([a,b])=\{a,b\} \), e poiché \( a,b\in[a,b] \), si ha \( \text{Fr}([a,b])\subseteq[a,b] \): l'insieme è chiuso. \( \blacksquare \)
Né aperto né chiuso
Non tutti gli insiemi sono aperti o chiusi: molti non sono né l'uno né l'altro (e altri, come vedremo, sono entrambi).
Esempio
L'intervallo \( [a,b) \) non è né aperto né chiuso. Infatti \( \text{Fr}([a,b))=\{a,b\} \) (stesso ragionamento di prima): \( a \) è di frontiera e appartiene all'insieme, quindi \( [a,b) \) non è aperto (ha un punto di frontiera al suo interno, cioè un punto che non è interno); \( b \) è di frontiera ma non appartiene all'insieme, quindi \( [a,b) \) non è chiuso (non contiene tutta la sua frontiera).
Anche il nostro insieme guida \( E=(0,1)\cup\{2\} \) non è né aperto né chiuso: non è aperto perché \( 2\in E \) non è interno (Sezione 6); non è chiuso perché \( \text{Fr}(E)=\{0,1,2\} \) ma \( 0,1\notin E \).
Un caso particolare: gli insiemi \( \mathbb{R} \) e \( \emptyset \) (l'insieme vuoto) sono sia aperti sia chiusi contemporaneamente. \( \mathbb{R} \) è aperto perché ogni numero reale ha ovviamente un intorno tutto contenuto in \( \mathbb{R} \), ed è chiuso perché \( \text{Fr}(\mathbb{R})=\emptyset\subseteq\mathbb{R} \) (non c'è nessun punto "al bordo" di \( \mathbb{R} \), dato che non c'è nulla al di fuori). Per l'insieme vuoto vale lo stesso ragionamento, in modo speculare: non avendo punti, è aperto e chiuso per assenza di controesempi. Sono gli unici due sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \) con questa doppia proprietà.
Riepilogo
| Insieme \(E\) | Aperto? | Chiuso? | \(\text{Fr}(E)\) |
|---|---|---|---|
| \( (a,b) \) | sì | no | \( \{a,b\} \) |
| \( [a,b] \) | no | sì | \( \{a,b\} \) |
| \( [a,b) \) | no | no | \( \{a,b\} \) |
| \( (0,1)\cup\{2\} \) | no | no | \( \{0,1,2\} \) |
| \( \mathbb{R} \) | sì | sì | \( \emptyset \) |
| \( \emptyset \) | sì | sì | \( \emptyset \) |