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Questionario sull'Integrazione Numerica

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Quesito 1 — Metodo dei Rettangoli

Calcola il valore approssimato dell'integrale \[ \int_0^2 e^{-x^2}\,dx \] con \(n=4\) usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti). Calcola poi la media dei due valori ottenuti.

Nota: questa funzione non ha primitiva elementare, quindi il metodo numerico è l'unico modo per calcolarne l'integrale!

Parametri

Funzione: \(f(x) = e^{-x^2}\)    Intervallo: \([0, 2]\), \(n=4\)

\[ h = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]

\(x_0=0.0 \Rightarrow f(0.0) = 1.0000\)
\(x_1=0.5 \Rightarrow f(0.5) \approx 0.7788\)
\(x_2=1.0 \Rightarrow f(1.0) \approx 0.3679\)
\(x_3=1.5 \Rightarrow f(1.5) \approx 0.1054\)
\(x_4=2.0 \Rightarrow f(2.0) \approx 0.0183\)

Rettangoli inscritti

La funzione è decrescente, quindi i rettangoli inscritti usano i punti finali di ogni intervallo:

\[ \text{Somma} = 0.7788 + 0.3679 + 0.1054 + 0.0183 = 1.2704 \] \[ R_i = 0.5 \times 1.2704 \approx 0.635 \]

Rettangoli circoscritti

I rettangoli circoscritti usano i punti iniziali di ogni intervallo:

\[ \text{Somma} = 1.0000 + 0.7788 + 0.3679 + 0.1054 = 2.2521 \] \[ R_c = 0.5 \times 2.2521 \approx 1.126 \]

Media

\[ R = \frac{R_i + R_c}{2} = \frac{0.635 + 1.126}{2} \approx 0.881 \]
Il valore esatto (calcolato con metodi avanzati) è circa 0.8821.
Approssimazione con 4 rettangoli inscritti e circoscritti

Approssimazione con 4 rettangoli inscritti e circoscritti

Quesito 2 — Metodo dei Trapezi

Calcola il valore approssimato dell'integrale \[ \int_{0.1}^{2} \frac{\sin x}{x}\,dx \] usando il metodo dei trapezi con \(n=3\).

Nota: la funzione è continua nell'intervallo considerato.

Parametri

Funzione: \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\)    Intervallo: \([0.1, 2]\), \(n=3\)

\[ h = \frac{2-0.1}{3} = \frac{1.9}{3} \approx 0.6333 \]

\(x_0=0.1 \Rightarrow f(0.1)\approx 0.9983\)
\(x_1\approx 0.7333 \Rightarrow f(0.7333)\approx 0.9135\)
\(x_2\approx 1.3667 \Rightarrow f(1.3667)\approx 0.7150\)
\(x_3=2 \Rightarrow f(2)\approx 0.4546\)

Formula dei trapezi

\[ T = \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)\right] \] \[ T \approx \frac{0.6333}{2}\left[0.9983 + 2(0.9135) + 2(0.7150) + 0.4546\right] \approx 1.49 \]
Il valore numerico più accurato è circa 1.50.
Approssimazione con 3 trapezi

Approssimazione con 3 trapezi

Quesito 3 — Rettangoli e Trapezi

Sia \(f(x) = x^2\) sull'intervallo \([0,2]\) con \(n=6\).

1. Approssima \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx\) usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) e calcola la media.
2. Approssima lo stesso integrale con il metodo dei trapezi.
3. Confronta i risultati con il valore esatto.

Parametri

Funzione: \(f(x) = x^2\)    Intervallo: \([0, 2]\), \(n=6\)

\[ h = \frac{2-0}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \]

\(x_0=0.000 \Rightarrow f(x_0)=0.000\)
\(x_1\approx 0.333 \Rightarrow f(x_1)\approx 0.111\)
\(x_2\approx 0.667 \Rightarrow f(x_2)\approx 0.444\)
\(x_3=1.000 \Rightarrow f(x_3)=1.000\)
\(x_4\approx 1.333 \Rightarrow f(x_4)\approx 1.778\)
\(x_5\approx 1.667 \Rightarrow f(x_5)\approx 2.778\)
\(x_6=2.000 \Rightarrow f(x_6)=4.000\)

Rettangoli inscritti

La funzione è crescente → punti sinistri:

\[ \text{Somma} = 0+0.111+0.444+1.000+1.778+2.778 = 6.111 \] \[ R_i = 0.3333 \times 6.111 \approx 2.037 \]

Rettangoli circoscritti

Punti destri:

\[ \text{Somma} = 0.111+0.444+1.000+1.778+2.778+4.000 = 10.111 \] \[ R_c = 0.3333 \times 10.111 \approx 3.370 \]
\[ R = \frac{2.037+3.370}{2} \approx 2.704 \]

Metodo dei trapezi

\[ T = \frac{0.3333}{2}\left[0+2(0.111+0.444+1.000+1.778+2.778)+4.000\right] \approx 2.704 \]

Confronto con il valore esatto

\[ \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667 \]
Errore rettangoli: \(\approx 0.037\)    Errore trapezi: \(\approx 0.037\)
I due metodi danno lo stesso risultato: per \(f(x)=x^2\) la media dei rettangoli coincide con il metodo dei trapezi!
Rettangoli inscritti e circoscritti

Approssimazione con rettangoli inscritti e circoscritti

Approssimazione con trapezi

Approssimazione con trapezi

Quesito 4 — Rettangoli e Trapezi

Calcola il valore approssimato dell'integrale \[ \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx \] con \(n=4\) usando sia il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) che il metodo dei trapezi. Confronta i risultati con il valore esatto.

Parametri

Funzione: \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)    Intervallo: \([1,3]\), \(n=4\)

\[ h = \frac{3-1}{4} = 0.5 \]

\(x_0=1.0 \Rightarrow f(x_0)=1.0000\)
\(x_1=1.5 \Rightarrow f(x_1)\approx 0.6667\)
\(x_2=2.0 \Rightarrow f(x_2)=0.5000\)
\(x_3=2.5 \Rightarrow f(x_3)=0.4000\)
\(x_4=3.0 \Rightarrow f(x_4)\approx 0.3333\)

Rettangoli inscritti e circoscritti

La funzione è decrescente → inscritti usano punti destri, circoscritti punti sinistri:

\[ R_i = 0.5 \times (0.6667+0.5000+0.4000+0.3333) = 0.5 \times 1.9000 = 0.950 \] \[ R_c = 0.5 \times (1.0000+0.6667+0.5000+0.4000) = 0.5 \times 2.5667 \approx 1.283 \] \[ R = \frac{0.950+1.283}{2} \approx 1.117 \]

Metodo dei trapezi

\[ T = \frac{0.5}{2}\left[1.0000+2(0.6667+0.5000+0.4000)+0.3333\right] \approx 1.117 \]

Confronto con il valore esatto

\[ \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^3 = \ln(3) \approx 1.0986 \]
Errore: \(\approx 0.018\)
Entrambi i metodi sovrastimano leggermente il valore esatto.
Rettangoli inscritti e circoscritti

Approssimazione con rettangoli

Approssimazione con trapezi

Approssimazione con trapezi

Quesito 5 — Studio della funzione, calcolo esatto e approssimato

Si consideri la funzione \(f(x) = \sqrt{x}\).

a) Rappresentarla graficamente deducendola da una funzione elementare.
b) Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle\int_1^3 \sqrt{x}\,dx\).
c) Approssimare con il metodo dei rettangoli con \(n=5\).
d) Approssimare con il metodo dei trapezi con \(n=5\).
e) Confrontare i risultati.

a) Grafico della funzione

La funzione \(y=\sqrt{x}\) è l'inversa di \(g(x)=x^2\) per \(x\geq 0\). Il suo grafico si ottiene per simmetria rispetto alla retta \(y=x\) del ramo di parabola con \(x\geq 0\).

Grafico di y=√x, y=x² e y=x

Grafico di \(y=\sqrt{x}\), \(y=x^2\) e \(y=x\)

b) Valore esatto

\[ \int_1^3 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^3 = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}-1) \approx 2.797 \]
Area esatta sotto y=√x

Area esatta nell'intervallo \([1,3]\)

c) Metodo dei rettangoli

\[ h = \frac{3-1}{5} = 0.4 \]

\(x_0=1.0 \Rightarrow f(x_0)=1.0000\)
\(x_1=1.4 \Rightarrow f(x_1)\approx 1.1832\)
\(x_2=1.8 \Rightarrow f(x_2)\approx 1.3416\)
\(x_3=2.2 \Rightarrow f(x_3)\approx 1.4832\)
\(x_4=2.6 \Rightarrow f(x_4)\approx 1.6125\)
\(x_5=3.0 \Rightarrow f(x_5)\approx 1.7321\)

La funzione è crescente → inscritti usano punti sinistri, circoscritti punti destri:

\[ R_i = 0.4 \times 6.6205 \approx 2.648 \qquad R_c = 0.4 \times 7.3526 \approx 2.941 \] \[ R = \frac{2.648+2.941}{2} \approx 2.795 \]
Rettangoli inscritti e circoscritti

Approssimazione con rettangoli

d) Metodo dei trapezi

\[ T = \frac{0.4}{2}\left[1.0000+2(1.1832+1.3416+1.4832+1.6125)+1.7321\right] \approx 2.795 \]
Approssimazione con trapezi

Approssimazione con trapezi

e) Confronto

Valore esatto: \(\approx 2.797\)
Media rettangoli: \(\approx 2.795\) — Errore: \(\approx 0.002\)
Metodo dei trapezi: \(\approx 2.795\) — Errore: \(\approx 0.002\)
Entrambi i metodi danno un'ottima approssimazione con soli 5 intervalli!

Quesito 6 — Studio della funzione, calcolo esatto e approssimato

Si consideri la funzione \(f(x) = x^3\).

a) Rappresentarla graficamente e calcolare il valore esatto di \(\displaystyle\int_{-1}^1 x^3\,dx\). Il risultato era prevedibile?
b) Approssimare con il metodo dei rettangoli con \(n=6\).
c) Approssimare con il metodo dei trapezi con \(n=6\).
d) Confrontare i risultati.

a) Grafico e valore esatto

La funzione \(f(x)=x^3\) è una cubica dispari (\(f(-x)=-f(x)\)), simmetrica rispetto all'origine.

Grafico di f(x)=x³

Grafico di \(f(x)=x^3\) in \([-1,1]\)

\[ \int_{-1}^1 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{4} = 0 \]
Sì, era prevedibile! Essendo dispari, le aree positive e negative si annullano a vicenda.

b) Metodo dei rettangoli

\[ h = \frac{1-(-1)}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \]

\(x_0=-1.000,\ f=-1.0000\)   \(x_1\approx-0.667,\ f\approx-0.2963\)   \(x_2\approx-0.333,\ f\approx-0.0370\)
\(x_3=0.000,\ f=0\)   \(x_4\approx 0.333,\ f\approx 0.0370\)   \(x_5\approx 0.667,\ f\approx 0.2963\)   \(x_6=1.000,\ f=1.0000\)

\[ R_i = 0.3333 \times (-1.0000) \approx -0.333 \] \[ R_c = 0.3333 \times 1.0000 \approx 0.333 \] \[ R = \frac{-0.333+0.333}{2} = 0 \]
Rettangoli inscritti e circoscritti

Approssimazione con rettangoli

c) Metodo dei trapezi

\[ T = 0.1667 \times [-1+2(-0.2963-0.0370+0+0.0370+0.2963)+1] = 0 \]
Approssimazione con trapezi

Approssimazione con trapezi

d) Confronto

Valore esatto: \(0\)   Media rettangoli: \(0\)   Trapezi: \(0\)
Per le funzioni dispari su intervalli simmetrici entrambi i metodi trovano esattamente il valore corretto, qualunque sia \(n\)!

Quesito 7 — Il metodo dei trapezi e la precisione

Si consideri la funzione \(f(x)=\sin(x)\) sull'intervallo \([0,\pi]\).

a) Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle\int_0^\pi \sin(x)\,dx\).
b) Approssimare con il metodo dei trapezi con \(n=4\).
c) Approssimare con il metodo dei trapezi con \(n=8\).
d) Di quanto si riduce l'errore raddoppiando \(n\)?

a) Valore esatto

\[ \int_0^\pi \sin(x)\,dx = \Big[-\cos(x)\Big]_0^\pi = -\cos(\pi)+\cos(0) = 1+1 = 2 \]
Area sotto y=sin(x) da 0 a π

Area esatta sotto \(y=\sin(x)\) in \([0,\pi]\)

b) Trapezi con \(n=4\)

\[ h = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \]

\(f(0)=0,\ f(\pi/4)\approx 0.7071,\ f(\pi/2)=1.0000,\ f(3\pi/4)\approx 0.7071,\ f(\pi)=0\)

\[ T_4 = \frac{0.7854}{2}\bigl[0+2(0.7071+1.0000+0.7071)+0\bigr] = 0.3927 \times 4.8284 \approx 1.896 \]
4 trapezi

Approssimazione con \(n=4\) trapezi

c) Trapezi con \(n=8\)

\[ h = \frac{\pi}{8} \approx 0.3927 \]

\(f(0)=0,\ f(\pi/8)\approx 0.3827,\ f(\pi/4)\approx 0.7071,\ f(3\pi/8)\approx 0.9239,\)
\(f(\pi/2)=1.0000,\ f(5\pi/8)\approx 0.9239,\ f(3\pi/4)\approx 0.7071,\ f(7\pi/8)\approx 0.3827,\ f(\pi)=0\)

\[ T_8 = 0.1963 \times 10.0548 \approx 1.974 \]
8 trapezi

Approssimazione con \(n=8\) trapezi

d) Confronto

Valore esatto: \(2\)
\(T_4 \approx 1.896\) — Errore \(\approx 0.104\)
\(T_8 \approx 1.974\) — Errore \(\approx 0.026\)
\[ \frac{0.104}{0.026} \approx 4 \]
Raddoppiando \(n\), l'errore si riduce di 4 volte! L'errore del metodo dei trapezi è proporzionale a \(h^2\).

Quesito 8 — Il metodo dei rettangoli e la precisione

Si consideri la funzione \(f(x)=\ln(x)\) sull'intervallo \([1,5]\).

a) Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle\int_1^5 \ln(x)\,dx\).
b) Approssimare l'integrale con il metodo dei rettangoli con \(n=4\).
c) Approssimare l'integrale con il metodo dei rettangoli con \(n=8\).
d) Di quanto si riduce l'errore raddoppiando \(n\)?

a) Valore esatto

Usiamo l'integrazione per parti con \(u=\ln(x)\) e \(dv=dx\):

\[ \int_1^5 \ln(x)\,dx = \Big[x\ln(x)-x\Big]_1^5 = 5\ln5-4 \approx 4.047 \]
Area sotto y=ln(x) da 1 a 5

Area esatta sotto \(y=\ln(x)\) in \([1,5]\)

b) Rettangoli con \(n=4\)

\[ h = \frac{5-1}{4} = 1 \]

\(f(1)=0,\ f(2)\approx 0.6931,\ f(3)\approx 1.0986,\ f(4)\approx 1.3863,\ f(5)\approx 1.6094\)

La funzione è crescente → inscritti usano punti sinistri, circoscritti punti destri:

\[ R_i = 1 \times 3.1780 \approx 3.178 \qquad R_c = 1 \times 4.7874 \approx 4.787 \] \[ R_4 = \frac{3.178+4.787}{2} \approx 3.983 \]
4 rettangoli

Approssimazione con \(n=4\) rettangoli

c) Rettangoli con \(n=8\)

\[ h = \frac{5-1}{8} = 0.5 \]

\(f(1.0)=0,\ f(1.5)\approx 0.4055,\ f(2.0)\approx 0.6931,\ f(2.5)\approx 0.9163,\)
\(f(3.0)\approx 1.0986,\ f(3.5)\approx 1.2528,\ f(4.0)\approx 1.3863,\ f(4.5)\approx 1.5041,\ f(5.0)\approx 1.6094\)

\[ R_i = 0.5 \times 7.2567 \approx 3.628 \qquad R_c = 0.5 \times 8.8661 \approx 4.433 \] \[ R_8 = \frac{3.628+4.433}{2} \approx 4.031 \]
8 rettangoli

Approssimazione con \(n=8\) rettangoli

d) Confronto

Valore esatto: \(5\ln5-4\approx 4.047\)
\(R_4\approx 3.983\) — Errore \(\approx 0.064\)
\(R_8\approx 4.031\) — Errore \(\approx 0.016\)
\[ \frac{0.064}{0.016} = 4 \]
Anche per i rettangoli, raddoppiando \(n\) l'errore si riduce di 4 volte — l'errore è proporzionale a \(h^2\)!
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