Risolvi da solo i singoli quesiti e controlla la soluzione premendo il tasto corrispondente.
Calcola il valore approssimato dell'integrale \[ \int_0^2 e^{-x^2}\,dx \] con \(n=4\) usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti). Calcola poi la media dei due valori ottenuti.
Nota: questa funzione non ha primitiva elementare, quindi il metodo numerico è l'unico modo per calcolarne l'integrale!
Soluzione quesito 1:
Funzione: \(f(x) = e^{-x^2}\) Intervallo: \([0, 2]\), \(n=4\)
\[ h = \frac{2-0}{4} = 0.5 \]
\(x_0=0.0 \Rightarrow f(0.0) = 1.0000\)
\(x_1=0.5 \Rightarrow f(0.5) \approx 0.7788\)
\(x_2=1.0 \Rightarrow f(1.0) \approx 0.3679\)
\(x_3=1.5 \Rightarrow f(1.5) \approx 0.1054\)
\(x_4=2.0 \Rightarrow f(2.0) \approx 0.0183\)
La funzione è decrescente, quindi i rettangoli inscritti usano i punti finali di ogni intervallo:
\(f(0.5)\approx 0.7788,\ f(1.0)\approx 0.3679,\ f(1.5)\approx 0.1054,\ f(2.0)\approx 0.0183\)
\[ \text{Somma} = 0.7788 + 0.3679 + 0.1054 + 0.0183 = 1.2704 \] \[ R_i = 0.5 \times 1.2704 \approx 0.635 \]I rettangoli circoscritti usano i punti iniziali di ogni intervallo:
\(f(0.0)=1.0000,\ f(0.5)\approx 0.7788,\ f(1.0)\approx 0.3679,\ f(1.5)\approx 0.1054\)
\[ \text{Somma} = 1.0000 + 0.7788 + 0.3679 + 0.1054 = 2.2521 \] \[ R_c = 0.5 \times 2.2521 \approx 1.126 \]Il valore esatto (calcolato numericamente con metodi avanzati) è circa 0.8821.
Approssimazione con 4 rettangoli inscritti e circoscritti
Calcola il valore approssimato dell'integrale \[ \int_{0.1}^{2} \frac{\sin x}{x}\,dx \] usando il metodo dei trapezi con \(n=3\).
Nota: la funzione è continua nell’intervallo considerato.
Soluzione quesito 2:
Funzione: \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\)
Intervallo: \([0.1, 2]\), \(n=3\)
\(f(0.1) \approx 0.9983\)
\(f(0.7333) \approx 0.9135\)
\(f(1.3667) \approx 0.7150\)
\(f(2) \approx 0.4546\)
Il valore numerico più accurato è circa 1.50.
Approssimazione con 3 trapezi
Sia \(f(x) = x^2\) sull'intervallo \([0,2]\) con \(n=6\).
1. Approssima l'integrale \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx\) usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) e calcola la media dei due valori.
2. Approssima lo stesso integrale usando il metodo dei trapezi con le stesse suddivisioni.
Confronta i risultati con il valore esatto e commenta quale metodo è più accurato.
Soluzione Quesito 3:
Funzione: \(f(x) = x^2\) Intervallo: \([0, 2]\), \(n=6\)
\[ h = \frac{2-0}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \]
\(x_0=0.0 \Rightarrow f(x_0)=0.0000\)
\(x_1\approx 0.333 \Rightarrow f(x_1)\approx 0.111\)
\(x_2\approx 0.667 \Rightarrow f(x_2)\approx 0.444\)
\(x_3=1.000 \Rightarrow f(x_3)=1.000\)
\(x_4\approx 1.333 \Rightarrow f(x_4)\approx 1.778\)
\(x_5\approx 1.667 \Rightarrow f(x_5)\approx 2.778\)
\(x_6=2.000 \Rightarrow f(x_6)=4.000\)
La funzione è crescente, quindi i rettangoli inscritti usano i punti sinistri di ogni intervallo:
\[ \text{Somma} = 0 + 0.111 + 0.444 + 1.000 + 1.778 + 2.778 = 6.111 \] \[ R_i = 0.3333 \times 6.111 \approx 2.037 \]I rettangoli circoscritti usano i punti destri di ogni intervallo:
\[ \text{Somma} = 0.111 + 0.444 + 1.000 + 1.778 + 2.778 + 4.000 = 10.111 \] \[ R_c = 0.3333 \times 10.111 \approx 3.370 \]Il valore esatto è: \[ \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.667 \]
Errore rettangoli (media): \(|2.704 - 2.667| \approx 0.037\)
Errore trapezi: \(|2.704 - 2.667| \approx 0.037\)
In questo caso i due metodi danno lo stesso risultato. Questo non è un caso: per funzioni polinomiali di secondo grado, la media dei rettangoli coincide con il metodo dei trapezi!
Approssimazione con rettangoli inscritti e circoscritti
Approssimazione con trapezi
Calcola il valore approssimato dell'integrale
\[ \displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx \]
con \(n=4\) usando sia il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) che il metodo dei trapezi.
Confronta i risultati con il valore esatto.
Soluzione Quesito 4:
Funzione: \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) Intervallo: \([1, 3]\), \(n=4\)
\[ h = \frac{3-1}{4} = 0.5 \]
\(x_0=1.0 \Rightarrow f(x_0)=1.0000\)
\(x_1=1.5 \Rightarrow f(x_1)\approx 0.6667\)
\(x_2=2.0 \Rightarrow f(x_2)=0.5000\)
\(x_3=2.5 \Rightarrow f(x_3)=0.4000\)
\(x_4=3.0 \Rightarrow f(x_4)\approx 0.3333\)
La funzione è decrescente, quindi i rettangoli inscritti usano i punti destri di ogni intervallo:
\[ \text{Somma} = 0.6667 + 0.5000 + 0.4000 + 0.3333 = 1.9000 \] \[ R_i = 0.5 \times 1.9000 = 0.950 \]I rettangoli circoscritti usano i punti sinistri di ogni intervallo:
\[ \text{Somma} = 1.0000 + 0.6667 + 0.5000 + 0.4000 = 2.5667 \] \[ R_c = 0.5 \times 2.5667 \approx 1.283 \]Il valore esatto è: \[ \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^3 = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) \approx 1.0986 \]
Errore rettangoli (media): \(|1.117 - 1.099| \approx 0.018\)
Errore trapezi: \(|1.117 - 1.099| \approx 0.018\)
Il metodo dei trapezi è generalmente più preciso del metodo dei rettangoli. In questo caso entrambi sovrastimano il valore esatto, ma l'errore è contenuto grazie al numero sufficiente di suddivisioni.
Approssimazione con rettangoli inscritti e circoscritti
Approssimazione con trapezi
Si consideri la funzione \(f(x) = \sqrt{x}\).
a) La si rappresenti graficamente nel piano cartesiano deducendola da una funzione elementare.
b) Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle\int_1^3 \sqrt{x}\,dx\).
c) Trovare il valore approssimato dell'integrale usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) con \(n=5\).
d) Trovare il valore approssimato dell'integrale usando il metodo dei trapezi con \(n=5\).
e) Confrontare i valori approssimati con il valore esatto.
Soluzione Quesito 5:
La funzione \(y = \sqrt{x}\) è l'inversa di \(g(x) = x^2\) per \(x \geq 0\). Il suo grafico si ottiene per simmetria rispetto alla retta \(y = x\) del ramo di parabola rappresentato da \(g\), prendendo \(x \geq 0\). Il grafico appartiene interamente al primo quadrante.
Grafico di \(y=\sqrt{x}\), \(y=x^2\) e \(y=x\)
Calcoliamo l'integrale usando la formula della potenza:
\[ \int_1^3 \sqrt{x}\,dx = \int_1^3 x^{1/2}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^3 \] \[ = \frac{2}{3}\cdot 3^{3/2} - \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2} = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx \frac{2}{3} \times 4.196 \approx 2.797 \]
Area esatta sotto la curva \(y=\sqrt{x}\) nell'intervallo \([1,3]\)
Funzione: \(f(x) = \sqrt{x}\) Intervallo: \([1, 3]\), \(n=5\)
\[ h = \frac{3-1}{5} = 0.4 \]
\(x_0=1.0 \Rightarrow f(x_0)=1.0000\)
\(x_1=1.4 \Rightarrow f(x_1)\approx 1.1832\)
\(x_2=1.8 \Rightarrow f(x_2)\approx 1.3416\)
\(x_3=2.2 \Rightarrow f(x_3)\approx 1.4832\)
\(x_4=2.6 \Rightarrow f(x_4)\approx 1.6125\)
\(x_5=3.0 \Rightarrow f(x_5)\approx 1.7321\)
La funzione è crescente, quindi i rettangoli inscritti usano i punti sinistri e i circoscritti i punti destri.
Rettangoli inscritti:
\[ \text{Somma} = 1.0000+1.1832+1.3416+1.4832+1.6125 = 6.6205 \] \[ R_i = 0.4 \times 6.6205 \approx 2.648 \]Rettangoli circoscritti:
\[ \text{Somma} = 1.1832+1.3416+1.4832+1.6125+1.7321 = 7.3526 \] \[ R_c = 0.4 \times 7.3526 \approx 2.941 \]Media:
\[ R = \frac{R_i + R_c}{2} = \frac{2.648 + 2.941}{2} \approx 2.795 \]
Approssimazione con rettangoli inscritti e circoscritti
Approssimazione con il metodo dei trapezi
Valore esatto: \(\dfrac{2}{3}(3\sqrt{3}-1) \approx 2.797\)
Media rettangoli: \(\approx 2.795\)
Metodo dei trapezi: \(\approx 2.795\)
Errore rettangoli: \(|2.795 - 2.797| \approx 0.002\)
Errore trapezi: \(|2.795 - 2.797| \approx 0.002\)
Entrambi i metodi danno un'ottima approssimazione con soli 5 intervalli. L'errore è molto piccolo grazie alla regolarità della funzione \(\sqrt{x}\) nell'intervallo considerato.
Si consideri la funzione \(f(x) = x^3\).
a) La si rappresenti graficamente e si calcoli il valore esatto di
\(\displaystyle\int_{-1}^1 x^3\,dx\).
Il valore ottenuto era prevedibile dalle proprietà del grafico?
b) Trovare il valore approssimato dell'integrale usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) con \(n=6\).
c) Trovare il valore approssimato dell'integrale usando il metodo dei trapezi con \(n=6\).
d) Confrontare i valori approssimati con il valore esatto.
Soluzione Quesito 6:
La funzione \(f(x) = x^3\) è una cubica, funzione dispari (\(f(-x) = -f(x)\)), con grafico simmetrico rispetto all'origine.
Grafico di \(f(x)=x^3\) nell'intervallo \([-1,1]\)
Calcoliamo il valore esatto:
\[ \int_{-1}^1 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \]Il risultato era prevedibile: poiché \(f(x)=x^3\) è una funzione dispari, il grafico è simmetrico rispetto all'origine. Le aree con segno positivo (per \(x>0\)) e negativo (per \(x<0\)) si annullano esattamente a vicenda.
Funzione: \(f(x) = x^3\) Intervallo: \([-1, 1]\), \(n=6\)
\[ h = \frac{1-(-1)}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \]
\(x_0=-1.000 \Rightarrow f(x_0)=-1.0000\)
\(x_1\approx -0.667 \Rightarrow f(x_1)\approx -0.2963\)
\(x_2\approx -0.333 \Rightarrow f(x_2)\approx -0.0370\)
\(x_3=0.000 \Rightarrow f(x_3)=0.0000\)
\(x_4\approx 0.333 \Rightarrow f(x_4)\approx 0.0370\)
\(x_5\approx 0.667 \Rightarrow f(x_5)\approx 0.2963\)
\(x_6=1.000 \Rightarrow f(x_6)=1.0000\)
La funzione è crescente, quindi i rettangoli inscritti usano i punti sinistri e i circoscritti i punti destri.
Rettangoli inscritti:
\[ \text{Somma} = -1.0000 - 0.2963 - 0.0370 + 0 + 0.0370 + 0.2963 = -1.0000 \] \[ R_i = 0.3333 \times (-1.0000) \approx -0.333 \]Rettangoli circoscritti:
\[ \text{Somma} = -0.2963 - 0.0370 + 0 + 0.0370 + 0.2963 + 1.0000 = 1.0000 \] \[ R_c = 0.3333 \times 1.0000 \approx 0.333 \]Media:
\[ R = \frac{R_i + R_c}{2} = \frac{-0.333 + 0.333}{2} = 0 \]
Approssimazione con rettangoli inscritti e circoscritti
Approssimazione con il metodo dei trapezi
Valore esatto: \(0\)
Media rettangoli: \(0\)
Metodo dei trapezi: \(0\)
Tutti e tre i valori coincidono perfettamente! Questo non è un caso: per le funzioni dispari integrate su intervalli simmetrici rispetto all'origine, sia il metodo dei rettangoli che quello dei trapezi trovano esattamente il valore corretto, qualunque sia il numero di suddivisioni \(n\).
Si consideri la funzione \(f(x) = \sin(x)\) sull'intervallo \([0, \pi]\).
a) Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle\int_0^\pi \sin(x)\,dx\)
e rappresentare graficamente la regione di cui si calcola l'area.
b) Calcolare il valore approssimato usando il metodo dei trapezi con \(n=4\).
c) Calcolare il valore approssimato usando il metodo dei trapezi con \(n=8\).
d) Confrontare i due valori approssimati con il valore esatto. Di quanto si riduce l'errore raddoppiando il numero di intervalli?
Soluzione Quesito 7:
Il valore dell'integrale rappresenta l'area della regione compresa tra la curva \(y=\sin(x)\) e l'asse \(x\) nell'intervallo \([0,\pi]\).
Area esatta sotto la curva \(y=\sin(x)\) nell'intervallo \([0,\pi]\)
\(x_0=0 \Rightarrow f(x_0)=0\)
\(x_1=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow f(x_1)\approx 0.7071\)
\(x_2=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow f(x_2)=1.0000\)
\(x_3=\dfrac{3\pi}{4} \Rightarrow f(x_3)\approx 0.7071\)
\(x_4=\pi \Rightarrow f(x_4)=0\)
Approssimazione con \(n=4\) trapezi
\(x_0=0 \Rightarrow f(x_0)=0\)
\(x_1=\dfrac{\pi}{8} \Rightarrow f(x_1)\approx 0.3827\)
\(x_2=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow f(x_2)\approx 0.7071\)
\(x_3=\dfrac{3\pi}{8} \Rightarrow f(x_3)\approx 0.9239\)
\(x_4=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow f(x_4)=1.0000\)
\(x_5=\dfrac{5\pi}{8} \Rightarrow f(x_5)\approx 0.9239\)
\(x_6=\dfrac{3\pi}{4} \Rightarrow f(x_6)\approx 0.7071\)
\(x_7=\dfrac{7\pi}{8} \Rightarrow f(x_7)\approx 0.3827\)
\(x_8=\pi \Rightarrow f(x_8)=0\)
Approssimazione con \(n=8\) trapezi
Valore esatto: \(2\)
Trapezi con \(n=4\): \(\approx 1.896\) Errore: \(\approx 0.104\)
Trapezi con \(n=8\): \(\approx 1.974\) Errore: \(\approx 0.026\)
Raddoppiando il numero di intervalli da 4 a 8, l'errore si riduce di circa 4 volte. Questo è esattamente il comportamento teorico del metodo dei trapezi: l'errore è proporzionale a \(h^2\), quindi dimezzando \(h\) (cioè raddoppiando \(n\)) l'errore si riduce di un fattore \(2^2 = 4\).
Si consideri la funzione \(f(x) = \ln(x)\) sull'intervallo \([1, 5]\).
a) Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle\int_1^5 \ln(x)\,dx\)
e rappresentare graficamente la regione di cui si calcola l'area.
b) Calcolare il valore approssimato usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) con \(n=4\).
c) Calcolare il valore approssimato usando il metodo dei rettangoli (inscritti e circoscritti) con \(n=8\).
d) Confrontare i due valori approssimati con il valore esatto. Di quanto si riduce l'errore raddoppiando il numero di intervalli?
Soluzione Quesito 8:
Usiamo l'integrazione per parti con \(u=\ln(x)\) e \(dv=dx\):
\[ \int_1^5 \ln(x)\,dx = \Big[x\ln(x)-x\Big]_1^5 \] \[ = (5\ln 5-5)-(1\cdot\ln 1-1) = 5\ln 5-5+1 = 5\ln 5-4 \approx 4.047 \]
Area esatta sotto la curva \(y=\ln(x)\) nell'intervallo \([1,5]\)
\(x_0=1 \Rightarrow f(x_0)=0\)
\(x_1=2 \Rightarrow f(x_1)\approx 0.6931\)
\(x_2=3 \Rightarrow f(x_2)\approx 1.0986\)
\(x_3=4 \Rightarrow f(x_3)\approx 1.3863\)
\(x_4=5 \Rightarrow f(x_4)\approx 1.6094\)
La funzione è crescente, quindi i rettangoli inscritti usano i punti sinistri e i circoscritti i punti destri.
Rettangoli inscritti:
\[ \text{Somma} = 0 + 0.6931 + 1.0986 + 1.3863 = 3.1780 \] \[ R_i = 1 \times 3.1780 \approx 3.178 \]Rettangoli circoscritti:
\[ \text{Somma} = 0.6931 + 1.0986 + 1.3863 + 1.6094 = 4.7874 \] \[ R_c = 1 \times 4.7874 \approx 4.787 \]Media:
\[ R_4 = \frac{R_i + R_c}{2} = \frac{3.178 + 4.787}{2} \approx 3.983 \]
Approssimazione con \(n=4\) rettangoli inscritti e circoscritti
\(x_0=1.0 \Rightarrow f(x_0)=0\)
\(x_1=1.5 \Rightarrow f(x_1)\approx 0.4055\)
\(x_2=2.0 \Rightarrow f(x_2)\approx 0.6931\)
\(x_3=2.5 \Rightarrow f(x_3)\approx 0.9163\)
\(x_4=3.0 \Rightarrow f(x_4)\approx 1.0986\)
\(x_5=3.5 \Rightarrow f(x_5)\approx 1.2528\)
\(x_6=4.0 \Rightarrow f(x_6)\approx 1.3863\)
\(x_7=4.5 \Rightarrow f(x_7)\approx 1.5041\)
\(x_8=5.0 \Rightarrow f(x_8)\approx 1.6094\)
Rettangoli inscritti:
\[ \text{Somma} = 0+0.4055+0.6931+0.9163+1.0986+1.2528+1.3863+1.5041 = 7.2567 \] \[ R_i = 0.5 \times 7.2567 \approx 3.628 \]Rettangoli circoscritti:
\[ \text{Somma} = 0.4055+0.6931+0.9163+1.0986+1.2528+1.3863+1.5041+1.6094 = 8.8661 \] \[ R_c = 0.5 \times 8.8661 \approx 4.433 \]Media:
\[ R_8 = \frac{3.628 + 4.433}{2} \approx 4.031 \]
Approssimazione con \(n=8\) rettangoli inscritti e circoscritti
Valore esatto: \(5\ln 5 - 4 \approx 4.047\)
Rettangoli con \(n=4\): \(\approx 3.983\) Errore: \(\approx 0.064\)
Rettangoli con \(n=8\): \(\approx 4.031\) Errore: \(\approx 0.016\)
Anche per il metodo dei rettangoli, raddoppiando il numero di intervalli l'errore si riduce di 4 volte. Questo conferma che anche la media dei rettangoli inscritti e circoscritti ha un errore proporzionale a \(h^2\), esattamente come il metodo dei trapezi!