Test 2 sugli Asintoti di una Funzione

Risposta corretta: B) No: il limite per \(x\to1\) è finito...

Il fatto che \(f\) non sia definita in \(1\) non basta: una retta \(x=c\) è asintoto verticale se e solo se almeno uno dei limiti, destro o sinistro, in \(c\) è infinito. Scomponendo:

\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2.\]

Il limite è finito: il grafico è la retta \(y=x+1\) privata del punto \((1;2)\), e non ha asintoti verticali (A è falsa). L'opzione C è falsa perché i limiti destro e sinistro sono uguali; la D è falsa perché \(f\) non è definita in \(x=1\).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione: è la retta \(y=x+1\) privata del punto \((1;2)\).

Risposta corretta: D) No: manca il calcolo di \(q\)...

Il valore di \(m\) è corretto, ma la condizione \(m\) finito è soltanto necessaria: per avere l'asintoto obliquo deve esistere finito anche \(q\). Qui

\[q=\lim_{x\to+\infty}\bigl[x+\sqrt x-x\bigr]=\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty,\]

quindi la retta \(y=x\) non è asintoto: la distanza del grafico dalla retta cresce. Per \(x\to+\infty\) la funzione non ha asintoti obliqui (e nemmeno orizzontali, perché tende a \(+\infty\)).

Le altre opzioni sono false: \(m=1\) è giusto (B), e una funzione che tende a \(+\infty\) può avere un asintoto obliquo (C), come \(x+\frac1x\).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione insieme alla retta \(y=x\): la distanza tra le due curve cresce.

Risposta corretta: A) No: se il limite per \(x\to\pm\infty\) è infinito...

Il limite infinito esclude gli asintoti orizzontali, non quelli obliqui. Si ha \(f(x)=x+\dfrac1x\), e

\[m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1,\qquad q=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-x\bigr]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0.\]

Quindi \(y=x\) è asintoto obliquo (per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\)), oltre all'asintoto verticale \(x=0\), che lo studente ha trovato correttamente (C è falsa: per l'asintoto basta che sia infinito almeno un limite). L'opzione D è falsa: \(f(x)\to\pm\infty\), non a \(1\).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione, con i suoi due asintoti.

Risposta corretta: C) No: per avere un asintoto verticale basta che uno dei due limiti sia infinito...

Il calcolo del limite sinistro è giusto (B è falsa), ma non basta. Si studia anche il limite destro:

\[\lim_{x\to0^+}e^{1/x}=e^{+\infty}=+\infty.\]

Poiché almeno uno dei due limiti è infinito, la retta \(x=0\) è un asintoto verticale, solo da destra: da sinistra il grafico tende al valore finito \(0\). L'opzione D è falsa: l'asintoto verticale si cerca proprio nei punti che non appartengono al dominio, ma sono di accumulazione per il dominio.

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione, con i suoi asintoti.

Risposta corretta: B) No: per \(x<0\) si ha \(\sqrt{x^2}=-x\)...

Per \(x\to-\infty\) è \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\), quindi

\[m=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{x}=-1,\] \[q=\lim_{x\to-\infty}\bigl[\sqrt{x^2+1}+x\bigr]=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=0.\]

L'asintoto per \(x\to-\infty\) è \(y=-x\), diverso da quello per \(x\to+\infty\) (\(y=x\)). I calcoli per le due direzioni vanno fatti separatamente: la parità di \(f\) permette di dedurre il secondo asintoto dal primo per simmetria, ma non di ripetere i calcoli senza cambiare il segno. Per ciascuna direzione c'è al più un asintoto non verticale (D è falsa), e la funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\) (C è falsa).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione, con i suoi due asintoti obliqui.

Risposta corretta: D) Falsa...

Una funzione associa a ogni \(x\) un solo valore \(f(x)\): sulla retta verticale \(x=c\) il grafico ha al massimo un punto (nessuno, se \(c\) non appartiene al dominio). Quindi un asintoto verticale può essere intersecato al massimo una volta.

Può succedere, però, che lo intersechi una volta: per esempio la funzione \(f(x)=e^{1/x}\) per \(x\neq0\), con \(f(0)=0\), ha l'asintoto verticale \(x=0\) (da destra) e il punto \((0;0)\) del grafico sta proprio sulla retta (C è falsa). Gli asintoti orizzontali e obliqui, invece, possono essere intersecati anche infinite volte (A confonde i due casi).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione: il punto \((0;0)\) appartiene al grafico e sta sulla retta \(x=0\).

Risposta corretta: A) Vera...

La funzione \(\tan x\) non è definita nei punti \(x=\frac\pi2+k\pi\) e in ciascuno di essi \[\lim_{x\to\left(\frac\pi2+k\pi\right)^-}\tan x=+\infty,\qquad\lim_{x\to\left(\frac\pi2+k\pi\right)^+}\tan x=-\infty,\] quindi ha infiniti asintoti verticali.

La regola "al massimo due asintoti" vale solo per quelli orizzontali e obliqui (D): uno per \(x\to+\infty\) e uno per \(x\to-\infty\), perché \(m\) e \(q\) sono unici. Le funzioni razionali fratte hanno davvero solo un numero finito di asintoti verticali, ma questo non vale in generale (B è falsa) e l'esistenza di infiniti asintoti verticali non è limitata a esse (C è falsa).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione, con alcuni dei suoi infiniti asintoti verticali.

Risposta corretta: C) Falsa...

Per il Teorema 2 la retta \(y=mx+q\) è asintoto se e solo se esistono finiti \(m=\lim\frac{f(x)}{x}\) e \(q=\lim\bigl[f(x)-mx\bigr]\). L'esistenza finita di \(m\) è una condizione necessaria, non sufficiente.

Controesempio: \(f(x)=x+\sqrt x\). Si ha \(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{\sqrt x}\to1\), ma \(f(x)-x=\sqrt x\to+\infty\): non esiste alcuna retta asintoto. Il fatto che \(f\) sia asintotica a \(x\) (cioè \(f(x)/x\to1\)) non significa che \(y=x\) sia un asintoto.

La B è falsa perché la condizione non basta nemmeno per \(m\neq0\); la D è falsa perché un asintoto orizzontale richiede che \(f(x)\) tenda a un numero reale (e allora \(m=0\), non viceversa).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione insieme alla retta \(y=x\): la distanza tra le due curve cresce, quindi \(y=x\) non è asintoto.

Risposta corretta: B) Vera...

Una retta \(x=c\) è asintoto verticale se almeno uno dei limiti, destro o sinistro, è \(\pm\infty\) (C è falsa). Il limite per \(x\to c^+\) dipende soltanto dai valori di \(f\) per \(x>c\), mai da \(f(c)\).

Esempio: \(f(x)=e^{1/x}\) per \(x\neq0\), \(f(0)=0\). Il limite destro in \(0\) è \(+\infty\), quindi \(x=0\) è asintoto verticale, anche se \(f(0)=0\) e il punto \((0;0)\) appartiene al grafico (A e D sono false). In questo caso il grafico interseca l'asintoto verticale proprio nel punto \((0;0)\), ma non in altri punti.

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione: la retta \(x=0\) è asintoto verticale (da destra) anche se \(f(0)=0\).

Risposta corretta: A) Vera...

La definizione di asintoto richiede solo che la distanza tra la curva e la retta tenda a zero: non esclude che la curva, avvicinandosi, tocchi la retta. Per \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) si ha \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le\dfrac1{|x|}\to0\) (confronto), quindi \(y=0\) è asintoto orizzontale; inoltre \(f(x)=0\) per \(x=k\pi\), \(k\neq0\) intero: infinite intersezioni (B è falsa).

Una sola intersezione è invece il massimo per un asintoto verticale (C confonde i due casi). Anche gli asintoti obliqui possono essere intersecati infinite volte (D è falsa: lo stesso vale per quelli orizzontali).

Mostriamo, anche se non richiesto, il grafico della funzione: interseca l'asintoto \(y=0\) nei punti \(x=k\pi\).