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Test 3 sugli Asintoti di una Funzione

🧩 Modalità speciale: Puzzle dei passaggi (Quesiti 1-5) e Abbinamento (Quesiti 6-10)

🎧 Disponibile anche in versione DSA

💡 Per una visualizzazione ottimale delle formule, se stai usando lo smartphone disponilo orizzontalmente.

📘 Come si svolge il test

🧩 Puzzle (Quesiti 1-5): lo studio degli asintoti di una funzione ha dei buchi. Clicca una tessera in basso, poi clicca il buco in cui vuoi inserirla; per toglierla clicca di nuovo sul buco. Le tessere sono più dei buchi: alcune sono sbagliate.

🔗 Abbinamento (Quesiti 6-10): per ogni funzione, limite o grafico scegli la lettera della risposta giusta. Le opzioni sono più degli elementi da abbinare: alcune non servono.

Ogni buco riempito e ogni abbinamento corretto vale 1 punto. Premi "Mostra Spiegazione" per il dettaglio (e per vedere in verde le risposte giuste e in rosso quelle sbagliate) o "Aiuto" per un suggerimento. In fondo alla pagina potrai verificare l'esito complessivo.

Progresso:

Quesito 1 (Puzzle)

Completa lo studio degli asintoti verticali di \(f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-x-6}\) inserendo le tessere giuste nei tre buchi:

Il denominatore si scompone: \(x^2-x-6=\)

Per \(x\to-2\) si ha \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{x-3}\to\)

Per \(x\to3\) il limite è infinito, per \(x\to-2\) è finito. Quindi l'unico asintoto verticale è

Clicca una tessera, poi un buco. Clicca un buco pieno per togliere la tessera.

Scomponi il denominatore e controlla se un fattore si semplifica con il numeratore: nel punto in cui si semplifica il limite è finito. Negli altri punti che annullano il denominatore, che cosa succede al limite?

Soluzione: ① \((x-3)(x+2)\), ② \(-\frac15\), ③ \(x=3\).

Le radici di \(x^2-x-6\) sono \(3\) e \(-2\) (somma \(1\), prodotto \(-6\)), quindi \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\) e

\[f(x)=\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{x-3}\qquad(x\ne-2).\]

Per \(x\to-2\) si ottiene \(\dfrac{1}{-2-3}=-\dfrac15\): il limite è finito, quindi \(x=-2\) non è un asintoto (la funzione ha un «buco» in quel punto).

Per \(x\to3\) il numeratore tende a \(5\neq0\) e il denominatore a \(0\): \(\displaystyle\lim_{x\to3^\pm}f(x)=\pm\infty\). L'unico asintoto verticale è \(x=3\).

Le tessere sbagliate nascono da una scomposizione con i segni scambiati (\((x+3)(x-2)=x^2+x-6\)), dal credere che il limite in \(-2\) sia infinito, o dal contare anche \(x=-2\) come asintoto senza semplificare.

Quesito 2 (Puzzle)

Completa lo studio dell'asintoto orizzontale di \(f(x)=\dfrac{3x^2-x}{x^2+2}\) inserendo le tessere giuste nei tre buchi:

Dividiamo numeratore e denominatore per \(x^2\): \(\displaystyle f(x)=\)

Per \(x\to+\infty\) si ha \(\frac1x\to0\) e \(\frac{1}{x^2}\to0\), quindi \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\)

Lo stesso valore si ottiene per \(x\to-\infty\). Quindi l'asintoto orizzontale è

Clicca una tessera, poi un buco. Clicca un buco pieno per togliere la tessera.

Dividi per la potenza di \(x\) di grado più alto e ricorda che \(\frac1x\) e \(\frac1{x^2}\) tendono a \(0\). Un asintoto orizzontale è una retta del tipo \(y=\) costante.

Soluzione: ① \(\dfrac{3-\frac1x}{1+\frac2{x^2}}\), ② \(3\), ③ \(y=3\).

Dividendo numeratore e denominatore per \(x^2\):

\[f(x)=\frac{3x^2-x}{x^2+2}=\frac{3-\frac1x}{1+\frac{2}{x^2}}.\]

Per \(x\to\pm\infty\) i termini \(\frac1x\) e \(\frac2{x^2}\) tendono a \(0\), quindi \(f(x)\to\dfrac31=3\) sia a \(+\infty\) sia a \(-\infty\). L'asintoto orizzontale è \(y=3\).

Il limite \(0\) si avrebbe solo se il grado del numeratore fosse minore di quello del denominatore; \(x=3\) è una retta verticale, non un asintoto orizzontale; nell'altra tessera il denominatore è stato diviso in modo scorretto.

Quesito 3 (Puzzle)

Completa lo studio dell'asintoto obliquo di \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x+1}\) inserendo le tessere giuste nei tre buchi:

Con la divisione tra polinomi: \(\displaystyle f(x)=\)

Il coefficiente angolare è \(\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\)

L'intercetta è \(\displaystyle q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)=\)

L'asintoto obliquo è quindi la retta \(y=2x-5\).

Clicca una tessera, poi un buco. Clicca un buco pieno per togliere la tessera.

Esegui la divisione \((2x^2-3x+1):(x+1)\): il quoziente è già la retta cercata e il resto, diviso per \(x+1\), tende a \(0\). Per \(m\) e \(q\) usa il quoziente e controlla i segni.

Soluzione: ① \(2x-5+\dfrac{6}{x+1}\), ② \(2\), ③ \(-5\).

Dalla divisione: \(2x^2-3x+1=(x+1)(2x-5)+6\), quindi

\[f(x)=2x-5+\frac{6}{x+1}.\]

Il coefficiente angolare è \(\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-3x+1}{x^2+x}=2\) (finito e diverso da \(0\)).

L'intercetta è \(\displaystyle q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-2x\bigr)=\lim_{x\to+\infty}\left(-5+\frac{6}{x+1}\right)=-5\). Lo stesso vale per \(x\to-\infty\): l'asintoto obliquo è \(y=2x-5\).

Attenzione: il numero \(6\) è il resto della divisione, non l'intercetta; \(+\infty\) non è un valore possibile per \(m\) (in tal caso non ci sarebbe l'asintoto obliquo); con i segni cambiati nel quoziente si otterrebbe un'altra retta.

Quesito 4 (Puzzle)

Completa lo studio dell'asintoto obliquo di \(f(x)=\sqrt{x^2+4x}\) per \(x\to+\infty\) inserendo le tessere giuste nei tre buchi:

Il coefficiente angolare è \(\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+4x}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac4x}=1\).

Per l'intercetta, razionalizzando: \(\displaystyle q=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\)

Dividendo numeratore e denominatore per \(x\): \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}=\)

L'asintoto obliquo per \(x\to+\infty\) è

Clicca una tessera, poi un buco. Clicca un buco pieno per togliere la tessera.

Per razionalizzare \(\sqrt{A}-x\) moltiplica e dividi per \(\sqrt{A}+x\): al numeratore compare una differenza di quadrati. Poi ricorda che per \(x>0\) si ha \(\sqrt{x^2+4x}\big/x=\sqrt{1+\frac4x}\).

Soluzione: ① \(\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\), ② \(2\), ③ \(y=x+2\).

Moltiplicando e dividendo per \(\sqrt{x^2+4x}+x\):

\[\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}.\]

Per \(x>0\), dividendo per \(x\) si ottiene \(\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}\to\dfrac{4}{1+1}=2\), quindi \(q=2\).

Con \(m=1\) e \(q=2\) l'asintoto obliquo (per \(x\to+\infty\)) è \(y=x+2\).

Con il segno \(-\) al denominatore la frazione non sarebbe uguale a \(\sqrt{x^2+4x}-x\); la tessera \(4\) dimentica il denominatore \(1+1=2\) e di conseguenza porta a \(y=x+4\).

Quesito 5 (Puzzle)

Osserva il grafico di \(f(x)=\dfrac{x^3+2}{x^2}\) (gli asintoti non sono tracciati) e completa lo studio inserendo le tessere giuste nei tre buchi:

Grafico della funzione (x al cubo più 2) su x al quadrato: a destra e a sinistra dell'asse y la curva sale verso l'alto; per x grande si avvicina a una retta inclinata.

Per \(x\to0\) il grafico sale verso \(+\infty\) da entrambe le parti: asintoto verticale

Per \(x\to\pm\infty\) il grafico si avvicina alla retta

Verifica: \(\displaystyle f(x)-x=\frac{x^3+2}{x^2}-x=\) , che tende a \(0\) per \(x\to\pm\infty\).

Clicca una tessera, poi un buco. Clicca un buco pieno per togliere la tessera.

Il grafico non si avvicina all'asse \(x\) a destra e a sinistra: da che parte «segue» una retta inclinata? Per verificarlo calcola la differenza \(f(x)-x\): deve tendere a \(0\).

Soluzione: ① \(x=0\), ② \(y=x\), ③ \(\dfrac{2}{x^2}\).

Per \(x\to0\) il numeratore tende a \(2\) e il denominatore a \(0^+\): \(f(x)\to+\infty\) sia da destra sia da sinistra, quindi \(x=0\) è asintoto verticale.

Per \(x\to\pm\infty\) il grafico segue la bisettrice: infatti

\[f(x)-x=\frac{x^3+2-x^3}{x^2}=\frac{2}{x^2}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}0,\]

quindi \(y=x\) è asintoto obliquo (sia a destra sia a sinistra). Ecco il grafico con gli asintoti tratteggiati:

Grafico di (x al cubo più 2) su x al quadrato con l'asintoto verticale x=0 e l'asintoto obliquo y=x tratteggiati.

\(y=0\) non è un asintoto (la funzione non si avvicina all'asse \(x\)); \(y=x+2\) darebbe \(f(x)-x-2\to-2\); \(\frac2x\) tende a \(0\) ma non è la differenza \(f(x)-x\).

Quesito 6 (Abbinamento)

Abbina a ciascuna funzione i suoi asintoti verticali. Le opzioni sono 5, ma le funzioni solo 3.

A)\(x=0\)
B)\(x=2\)
C)\(x=-2\) e \(x=2\)
D)\(x=1\)
E)Nessun asintoto verticale
1) \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}\)
2) \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\)
3) \(f(x)=\ln(x-2)\)
Cerca i punti in cui il limite è infinito. Attenzione ai fattori che si semplificano e al dominio del logaritmo.

Soluzione: 1) C, 2) E, 3) B.

1) Il denominatore si annulla in \(x=\pm2\) e il numeratore vale \(3\) e \(-1\): in entrambi i punti il limite è infinito. Asintoti: \(x=-2\) e \(x=2\) (opzione C).

2) Per \(x\neq2\) si ha \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\), che per \(x\to2\) tende a \(4\): limite finito, nessun asintoto verticale (opzione E).

3) Il dominio è \(x>2\) e \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}\ln(x-2)=-\infty\): \(x=2\) è asintoto verticale (opzione B), anche se il limite esiste solo da destra.

Le opzioni A e D non servono.

Quesito 7 (Abbinamento)

Abbina a ciascuna funzione i suoi asintoti orizzontali (per \(x\to+\infty\) e/o per \(x\to-\infty\)). Le opzioni sono 5, ma le funzioni solo 3.

A)\(y=0\)
B)\(y=2\)
C)\(y=-1\)
D)\(y=1\) per \(x\to+\infty\) e \(y=-1\) per \(x\to-\infty\)
E)Nessun asintoto orizzontale
1) \(f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-3}\)
2) \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
3) \(f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}\)
Calcola i limiti per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\) separatamente: con una radice i due risultati possono essere diversi.

Soluzione: 1) B, 2) D, 3) E.

1) Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado: il limite è il rapporto dei coefficienti direttivi, \(\frac21=2\). Asintoto \(y=2\) (opzione B).

2) Per \(x\to+\infty\) è \(\sqrt{x^2}=x\) e \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1{x^2}}}\to1\); per \(x\to-\infty\) è \(\sqrt{x^2}=-x\) e \(f(x)\to-1\). Due asintoti orizzontali diversi (opzione D).

3) Il grado del numeratore supera quello del denominatore: \(f(x)\to\pm\infty\), nessun asintoto orizzontale (opzione E). Dalla divisione \(f(x)=x-1+\frac1{x+1}\) si vede che c'è invece l'asintoto obliquo \(y=x-1\).

Le opzioni A e C non servono.

Quesito 8 (Abbinamento)

Abbina a ciascuna funzione il suo asintoto obliquo. Le opzioni sono 5, ma le funzioni solo 3.

A)\(y=x\)
B)\(y=x+1\)
C)\(y=2x\)
D)\(y=x-1\)
E)Nessun asintoto obliquo
1) \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\)
2) \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}\)
3) \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\)
Se il grado del numeratore supera di \(1\) quello del denominatore, la divisione tra polinomi dà direttamente la retta. Se i gradi sono uguali o il numeratore ha grado minore, non c'è asintoto obliquo.

Soluzione: 1) A, 2) B, 3) E.

1) \(f(x)=x+\dfrac1x\) e \(\dfrac1x\to0\): asintoto obliquo \(y=x\) (opzione A), per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\).

2) Dalla divisione \(x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2\), quindi \(f(x)=x+1+\dfrac{2}{x+1}\): asintoto obliquo \(y=x+1\) (opzione B).

3) I gradi sono uguali: \(f(x)\to3\) per \(x\to\pm\infty\). C'è l'asintoto orizzontale \(y=3\) e quindi nessun asintoto obliquo (opzione E).

Le opzioni C e D non servono.

Quesito 9 (Abbinamento)

Abbina a ciascun limite la conclusione che se ne ricava sugli asintoti di \(f\). Le opzioni sono 5, ma i limiti solo 3.

A)La retta \(y=2x+1\) è asintoto obliquo (per \(x\to+\infty\))
B)La retta \(x=2\) è asintoto verticale
C)La retta \(y=2\) è asintoto orizzontale (per \(x\to-\infty\))
D)La retta \(x=-2\) è asintoto verticale
E)La retta \(y=-2\) è asintoto orizzontale
1) \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\)
2) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=2\)
3) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(2x+1)\bigr]=0\)
Ricorda le definizioni: l'asintoto verticale si legge in un limite infinito per \(x\) che tende a un numero; quello orizzontale in un limite finito per \(x\to\pm\infty\); quello obliquo nella differenza tra \(f(x)\) e la retta che tende a \(0\).

Soluzione: 1) B, 2) C, 3) A.

1) \(f(x)\to+\infty\) per \(x\to2^+\): è la definizione di asintoto verticale \(x=2\) (opzione B). Basta un limite laterale infinito.

2) Il limite è finito per \(x\to-\infty\): asintoto orizzontale \(y=2\) (opzione C), valido solo a sinistra.

3) La distanza verticale tra \(f(x)\) e la retta \(y=2x+1\) tende a \(0\) per \(x\to+\infty\): è la definizione di asintoto obliquo (opzione A). Da questo limite si ricavano anche il coefficiente angolare e l'intercetta.

Per \(m\), al numeratore sommiamo e sottraiamo \(2x+1\) e spezziamo la frazione:

\[\frac{f(x)}{x}=\frac{\bigl[f(x)-(2x+1)\bigr]+(2x+1)}{x}\] \[=\frac{f(x)-(2x+1)}{x}+2+\frac1x.\]

Per \(x\to+\infty\) il primo termine tende a \(0\) (numeratore tendente a \(0\), denominatore che tende a \(+\infty\)) e \(\frac1x\to0\), quindi \(m=2\).

Per \(q\):

\[f(x)-2x=\bigl[f(x)-(2x+1)\bigr]+1\to 1,\]

quindi \(q=1\): la retta è proprio \(y=2x+1\).

Le opzioni D ed E hanno il segno del numero cambiato: nessuno dei limiti dati lo giustifica.

Quesito 10 (Abbinamento)

Abbina a ciascun grafico (con i suoi asintoti tratteggiati) la funzione corretta. Le funzioni sono 5, ma i grafici solo 3.

A)\(\dfrac{x^3-8}{x^2-x-2}\)
B)\(\dfrac{3x}{x+1}\)
C)\(\dfrac{2x}{x^2-1}\)
D)\(\dfrac{x^2}{x-2}\)
E)\(\dfrac{3x}{x-1}\)
1) Grafico 1
Grafico con asintoto verticale x=2 e asintoto obliquo che sale da sinistra a destra.
2) Grafico 2
Grafico con due asintoti verticali in x=-1 e x=1 e asintoto orizzontale l'asse x.
3) Grafico 3
Grafico con asintoto verticale x=-1 e asintoto orizzontale y=3.
Per ogni funzione individua gli asintoti: zeri del denominatore (verticali) e confronto dei gradi (orizzontale o obliquo). Poi confrontali con le rette tratteggiate di ciascun grafico.

Soluzione: 1) D, 2) C, 3) B.

1) Asintoto verticale \(x=2\) e asintoto obliquo \(y=x+2\): è \(\dfrac{x^2}{x-2}=x+2+\dfrac{4}{x-2}\) (opzione D).

2) Due asintoti verticali \(x=\pm1\) e asintoto orizzontale \(y=0\) (grado del numeratore minore di quello del denominatore): è \(\dfrac{2x}{x^2-1}\) (opzione C).

3) Asintoto verticale \(x=-1\) e asintoto orizzontale \(y=3\): è \(\dfrac{3x}{x+1}\) (opzione B). La funzione \(\frac{3x}{x-1}\) avrebbe invece \(x=1\) e \(y=3\).

L'opzione A non corrisponde a nessun grafico: \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\) e \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), quindi per \(x\ne2\) la funzione diventa \(\dfrac{x^2+2x+4}{x+1}=x+1+\dfrac{3}{x+1}\): ha solo l'asintoto verticale \(x=-1\) (in \(x=2\) c'è un «buco») e l'asintoto obliquo \(y=x+1\). Anche l'opzione E non serve.

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