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QUESTIONARIO 2 SULLE FUNZIONI CONTINUE
📚 Disponibile anche in versione DSA
In questo questionario trovi dieci quesiti sulle funzioni continue negli intervalli chiusi e limitati: teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass, metodo di bisezione. Svolgi ciascun quesito, poi premi "Soluzione Quesito N" per controllare il procedimento e il risultato. Nei quesiti 1 e 7 trovi, nella soluzione, un widget interattivo per provare il metodo di bisezione. Puoi aprire e chiudere ogni soluzione quando vuoi.
Quesito 1
Considera l'equazione \( \ln x+x=2 \).
a) Dimostra che l'equazione ha almeno una soluzione nell'intervallo \( [1,2] \).
b) Dimostra che la soluzione è unica.
c) Interpreta graficamente l'equazione disegnando i grafici di \( y=\ln x \) e di \( y=2-x \).
d) Con il metodo di bisezione, determina un valore approssimato della soluzione con errore minore di \( \dfrac{1}{10} \). Quanti passi occorre eseguire?
Soluzione del quesito 1
a) Esistenza della soluzione
Risolvere l'equazione equivale a cercare gli zeri della funzione
\[ f(x)=\ln x+x-2 . \]\( f \) è continua in \( (0,+\infty) \), quindi in particolare in \( [1,2] \). Agli estremi dell'intervallo:
- \( f(1)=\ln 1+1-2=-1<0 \) (si ha \( \ln 1=0 \));
- \( f(2)=\ln 2+2-2=\ln 2>0 \) (\( \ln 2\simeq0{,}69 \)).
I valori agli estremi hanno segno opposto: per il teorema degli zeri esiste almeno un \( \alpha\in(1,2) \) tale che \( f(\alpha)=0 \), cioè \( \ln\alpha+\alpha=2 \).
b) Unicità
La funzione \( \ln x \) è strettamente crescente e lo è anche \( x \): la loro somma \( \ln x+x \) è quindi strettamente crescente in \( (0,+\infty) \), e lo è anche \( f(x)=\ln x+x-2 \). Se \( x_1<x_2 \) si ha allora \( f(x_1)<f(x_2) \): la funzione non può assumere due volte lo stesso valore, e in particolare non può annullarsi in due punti diversi. La soluzione \( \alpha \) è dunque unica (in tutto il dominio, non solo in \( [1,2] \)).
c) Interpretazione grafica
L'equazione si può scrivere \( \ln x=2-x \): le sue soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione fra la curva \( y=\ln x \) e la retta \( y=2-x \).
La curva è crescente e la retta è decrescente: si possono incontrare al più una volta (conferma grafica del punto b). Si incontrano davvero perché per \( x=1 \) la curva è sotto la retta (\( 0<1 \)) mentre per \( x=2 \) è sopra (\( \ln2>0 \)): è lo stesso cambio di segno usato nel punto a. L'intersezione ha ascissa \( \alpha \) compresa fra \( 1 \) e \( 2 \).
d) Approssimazione con il metodo di bisezione
Dopo \( n \) passi lo zero è in un intervallo di ampiezza \( \dfrac{b-a}{2^{n}}=\dfrac{1}{2^{n}} \), che è anche una stima dell'errore. Vogliamo
\[ \frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{10}\quad\Longleftrightarrow\quad 2^{n}>10 . \]Poiché \( 2^3=8<10 \) e \( 2^4=16>10 \), servono 4 passi. Eseguiamoli, partendo da \( [1,2] \) (con \( f(1)<0 \) e \( f(2)>0 \)):
| passo | intervallo di partenza | punto medio \( c \) | \( f(c) \) | nuovo intervallo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \( [1;\,2] \) | \( 1{,}5 \) | \( -0{,}0945 \) | \( [1{,}5;\,2] \) |
| 2 | \( [1{,}5;\,2] \) | \( 1{,}75 \) | \( +0{,}3096 \) | \( [1{,}5;\,1{,}75] \) |
| 3 | \( [1{,}5;\,1{,}75] \) | \( 1{,}625 \) | \( +0{,}1105 \) | \( [1{,}5;\,1{,}625] \) |
| 4 | \( [1{,}5;\,1{,}625] \) | \( 1{,}5625 \) | \( +0{,}0088 \) | \( [1{,}5;\,1{,}5625] \) |
Dopo 4 passi \( \alpha\in[1{,}5;\,1{,}5625] \), intervallo di ampiezza \( \dfrac{1}{16}=0{,}0625<0{,}1 \). Possiamo quindi assumere \( \alpha\simeq1{,}56 \) con errore minore di \( 0{,}0625 \), dunque minore di \( \dfrac{1}{10} \) (il valore esatto è \( 1{,}5571\ldots \)).
Prova il metodo con il widget: scegli la funzione e premi «Passo successivo».
Quesito 2
Considera l'equazione \( x^3-3x+1=0 \) e la funzione \( f(x)=x^3-3x+1 \).
a) Calcola \( f(-2) \), \( f(-1) \), \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(2) \) e dimostra, con il teorema degli zeri, che l'equazione ha almeno tre soluzioni reali.
b) Dimostra che le soluzioni reali sono esattamente tre.
c) Disegna un grafico di \( f \) coerente con i risultati ottenuti.
d) Individua un intervallo di ampiezza \( \dfrac{1}{10} \) che contenga la soluzione compresa fra \( 0 \) e \( 1 \).
Soluzione del quesito 2
a) Tre soluzioni almeno
\( f \) è un polinomio, quindi è continua in \( \mathbb{R} \). Calcoliamo i valori richiesti:
| \( x \) | \( -2 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | \( -1 \) | \( 3 \) | \( 1 \) | \( -1 \) | \( 3 \) |
Il segno cambia in tre intervalli:
- in \( [-2,-1] \): \( f(-2)=-1<0 \) e \( f(-1)=3>0 \);
- in \( [0,1] \): \( f(0)=1>0 \) e \( f(1)=-1<0 \);
- in \( [1,2] \): \( f(1)=-1<0 \) e \( f(2)=3>0 \).
Per il teorema degli zeri \( f \) si annulla almeno una volta in ciascuno degli intervalli \( (-2,-1) \), \( (0,1) \), \( (1,2) \). Questi intervalli sono a due a due disgiunti, quindi gli zeri trovati sono tre numeri diversi.
b) Non ce ne sono altre
Un polinomio di terzo grado ha al più tre zeri reali (teorema fondamentale dell'algebra). Avendone già trovati tre, sono tutti e soli: l'equazione ha esattamente tre soluzioni reali.
c) Grafico
Cerchiamo prima il comportamento agli estremi del dominio, mettendo in evidenza il termine di grado massimo:
\[ \lim_{x\to\pm\infty}(x^3-3x+1)=\lim_{x\to\pm\infty}x^3\left(1-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right), \]da cui
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty . \]Il grafico parte quindi dal basso a sinistra, passa per i punti \( (-2,-1) \), \( (-1,3) \), \( (0,1) \), \( (1,-1) \), \( (2,3) \), attraversa l'asse \( x \) esattamente tre volte, una in ciascuno dei tre intervalli, e sale verso l'alto a destra.
d) Un intervallo di ampiezza \( \dfrac{1}{10} \)
Calcoliamo \( f \) nei punti di \( [0,1] \) con passo \( 0{,}1 \), fermandoci quando il segno cambia:
| \( x \) | \( 0{,}1 \) | \( 0{,}2 \) | \( 0{,}3 \) | \( 0{,}4 \) |
|---|---|---|---|---|
| \( f(x) \) | \( 0{,}701 \) | \( 0{,}408 \) | \( 0{,}127 \) | \( -0{,}136 \) |
Poiché \( f(0{,}3)>0 \) e \( f(0{,}4)<0 \), per il teorema degli zeri la soluzione compresa fra \( 0 \) e \( 1 \) appartiene all'intervallo \( (0{,}3;\,0{,}4) \), di ampiezza \( 0{,}1 \).
Quesito 3
Per ciascuna delle funzioni seguenti verifica se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo indicato; poi stabilisci se la funzione ammette massimo e minimo assoluti e, in caso affermativo, determinali.
a) \( f(x)=x^2 \) in \( [-1,2] \).
b) \( f(x)=x^2 \) in \( (-1,2) \).
c) \( f(x)=\arctan x \) in \( \mathbb{R} \).
d) \( f(x)=\dfrac{1}{x-1} \) in \( [2,5] \).
e) \( f(x)=\dfrac{1}{x-1} \) in \( [0,2] \) (nei punti in cui è definita).
Soluzione del quesito 3
Il teorema dà condizioni sufficienti: se non sono soddisfatte, bisogna studiare la funzione direttamente.
a) \( x^2 \) è continua e \( [-1,2] \) è chiuso e limitato: il teorema si applica. Poiché \( x^2\ge0 \) e \( x^2=0 \) solo per \( x=0 \), il minimo è \( 0 \) in \( x=0 \). Per \( -1\le x\le2 \) si ha \( |x|\le2 \), cioè \( x^2\le4 \): il massimo è \( 4 \) in \( x=2 \).
b) L'intervallo \( (-1,2) \) è aperto: il teorema non si applica. Direttamente: \( x=0 \) appartiene all'intervallo e \( x^2\ge0 \), quindi il minimo esiste ed è \( 0 \). Per \( -1<x<2 \) si ha \( x^2<4 \), ma \( x^2 \) si avvicina quanto si vuole a \( 4 \) quando \( x \) tende a \( 2 \) da sinistra, senza mai raggiungerlo (\( x=2 \) è escluso): il massimo non esiste.
c) \( \mathbb{R} \) non è limitato: il teorema non si applica. La funzione è strettamente crescente e \( \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\arctan x=\pm\dfrac{\pi}{2} \): tutti i suoi valori sono compresi fra \( -\dfrac{\pi}{2} \) e \( \dfrac{\pi}{2} \) ma questi due valori non vengono mai assunti. Non esistono né massimo né minimo.
d) L'unico punto in cui \( \dfrac{1}{x-1} \) non è definita è \( x=1 \), che non appartiene a \( [2,5] \): la funzione è continua nell'intervallo chiuso e limitato \( [2,5] \) e il teorema si applica. Per \( x>1 \) il denominatore \( x-1 \) è positivo e cresce, quindi \( \dfrac{1}{x-1} \) decresce: il massimo è \( f(2)=1 \) e il minimo è \( f(5)=\dfrac{1}{4} \).
e) Il punto \( x=1 \) appartiene all'intervallo \( [0,2] \) ma la funzione non vi è definita: non è continua in \( [0,2] \) e il teorema non si applica. Per \( x\to1^- \) si ha \( f(x)\to-\infty \) e per \( x\to1^+ \) si ha \( f(x)\to+\infty \): la funzione non è limitata né superiormente né inferiormente. Non esistono né massimo né minimo.
Quesito 4
Sia \( f \) una funzione continua in \( \mathbb{R} \) e periodica di periodo \( 2\pi \). Si vuole dimostrare che esiste un numero \( \alpha \) tale che
\[ f(\alpha)=f(\alpha+\pi). \]a) Considera la funzione \( g(\alpha)=f(\alpha)-f(\alpha+\pi) \). Perché è continua? Calcola \( g(0) \) e \( g(\pi) \) e confrontali.
b) Concludi la dimostrazione con il teorema degli zeri.
c) Se \( f(\alpha) \) è la temperatura, a un dato istante, nel punto dell'equatore terrestre di longitudine \( \alpha \) (in radianti), che cosa afferma il risultato?
Soluzione del quesito 4
a) La funzione \( g \)
\( g \) è la differenza fra \( f(\alpha) \) e la funzione \( f(\alpha+\pi) \), che è ottenuta da \( f \) con una traslazione: entrambe sono continue, quindi \( g \) è continua in \( \mathbb{R} \). Calcoliamo:
\[ g(0)=f(0)-f(\pi),\qquad g(\pi)=f(\pi)-f(2\pi)=f(\pi)-f(0), \]dove abbiamo usato la periodicità: \( f(2\pi)=f(0) \). Confrontando le due espressioni:
\[ g(\pi)=-g(0). \]b) Conclusione
Ci sono due casi.
- Se \( g(0)=0 \), allora \( f(0)=f(\pi) \) e il numero cercato è \( \alpha=0 \).
- Se \( g(0)\neq0 \), i numeri \( g(0) \) e \( g(\pi)=-g(0) \) hanno segni opposti. \( g \) è continua in \( [0,\pi] \): per il teorema degli zeri esiste \( \alpha\in(0,\pi) \) tale che \( g(\alpha)=0 \).
In entrambi i casi esiste \( \alpha \) con \( g(\alpha)=0 \), cioè \( f(\alpha)=f(\alpha+\pi) \).
c) Interpretazione
I punti dell'equatore di longitudine \( \alpha \) e \( \alpha+\pi \) sono antipodali, cioè diametralmente opposti. La temperatura varia con continuità lungo l'equatore e, dopo un giro completo (\( 2\pi \)), si torna nello stesso punto: \( f \) è continua e periodica. Il risultato afferma che in ogni istante esistono, sull'equatore, due punti diametralmente opposti con la stessa temperatura.
Quesito 5
Un escursionista parte alle 8 del mattino dal rifugio e raggiunge la cima di una montagna, lungo un sentiero, alle 17 (può fermarsi o anche tornare indietro per un tratto). Il giorno dopo ripercorre lo stesso sentiero in discesa, partendo dalla cima alle 8 e arrivando al rifugio alle 17.
a) Indica con \( u(t) \) e \( d(t) \) la distanza dal rifugio, misurata lungo il sentiero, al tempo \( t \) rispettivamente nel primo e nel secondo giorno (\( 8\le t\le17 \)); sia \( L \) la lunghezza del sentiero. Scrivi i valori di \( u \) e \( d \) agli estremi dell'intervallo di tempo.
b) Dimostra che esiste un punto del sentiero in cui l'escursionista passa alla stessa ora nei due giorni.
c) Disegna i grafici di \( u \) e di \( d \) nello stesso riferimento e interpreta il risultato.
Soluzione del quesito 5
a) Le funzioni \( u \) e \( d \)
L'escursionista si muove con continuità, quindi \( u \) e \( d \) sono funzioni continue in \( [8,17] \). Il primo giorno parte dal rifugio e arriva in cima; il secondo giorno fa il contrario:
\[ u(8)=0,\quad u(17)=L;\qquad d(8)=L,\quad d(17)=0 . \]b) Dimostrazione
Cerchiamo un istante \( t_0 \) in cui l'escursionista si trova alla stessa distanza dal rifugio nei due giorni, cioè \( u(t_0)=d(t_0) \). Consideriamo la funzione
\[ h(t)=u(t)-d(t),\qquad t\in[8,17]. \]\( h \) è continua perché differenza di funzioni continue. Agli estremi:
\[ h(8)=0-L=-L<0,\qquad h(17)=L-0=L>0 . \]Per il teorema degli zeri esiste \( t_0\in(8,17) \) tale che \( h(t_0)=0 \), cioè \( u(t_0)=d(t_0) \): alle ore \( t_0 \) i due giorni l'escursionista è nello stesso punto del sentiero.
c) Grafici e interpretazione
Il grafico di \( u \) va dal punto \( (8,0) \) al punto \( (17,L) \); quello di \( d \) va da \( (8,L) \) a \( (17,0) \). Due curve continue che si scambiano di posizione (all'inizio \( d \) è sopra \( u \), alla fine è sotto) devono necessariamente intersecarsi; l'ascissa del punto d'incontro è \( t_0 \).
Quesito 6
Sia \( f \) una funzione continua e positiva in un intervallo \( [a,b] \): cioè \( f(x)>0 \) per ogni \( x\in[a,b] \).
a) Dimostra che esiste un numero \( m>0 \) tale che \( f(x)\ge m \) per ogni \( x\in[a,b] \).
b) Il risultato vale ancora se l'intervallo non è chiuso? Considera \( f(x)=x \) in \( (0,1] \).
c) Il risultato vale ancora se \( f \) non è continua? Considera la funzione definita in \( [0,1] \) da \( f(0)=1 \) e \( f(x)=x \) per \( 0<x\le1 \).
Soluzione del quesito 6
a) Dimostrazione
\( f \) è continua nell'intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \): per il teorema di Weierstrass ha un minimo assoluto, cioè esiste \( x_0\in[a,b] \) tale che
\[ f(x)\ge f(x_0)\qquad\text{per ogni }x\in[a,b]. \]Poniamo \( m=f(x_0) \). Poiché \( f \) è positiva in ogni punto di \( [a,b] \), lo è anche in \( x_0 \): quindi \( m=f(x_0)>0 \) e \( f(x)\ge m>0 \) per ogni \( x \) dell'intervallo. In altre parole, \( f \) non si avvicina a zero: resta «a distanza positiva» dall'asse \( x \).
b) Intervallo non chiuso
Disegniamo il grafico di \( f(x)=x \) in \( (0,1] \): è il segmento di bisettrice che va da \( (0,0) \), escluso, a \( (1,1) \), incluso. La retta tratteggiata \( y=m \) è una qualsiasi retta orizzontale con \( 0<m<1 \).
Dal grafico si vede che i valori di \( f \) diventano piccoli quanto si vuole quando \( x \) si avvicina a \( 0 \), ma \( 0 \) non viene mai assunto, perché \( x=0 \) non appartiene all'intervallo (pallino vuoto). Qualunque sia \( m>0 \), la retta \( y=m \) taglia il grafico e lascia dei punti sotto di sé, quelli con \( x<m \): non esiste nessun \( m>0 \) tale che \( f(x)\ge m \). La funzione è continua e positiva, ma non ha minimo: Weierstrass non si può applicare perché l'intervallo non è chiuso.
c) Funzione non continua
La funzione assegnata è positiva in ogni punto di \( [0,1] \) (\( f(0)=1 \) e \( f(x)=x>0 \) per \( x>0 \)), ma non è continua in \( x=0 \): \( \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0\neq f(0)=1 \). Il grafico è il segmento della figura precedente, con in più il punto isolato \( (0,1) \):
![Grafico della funzione definita in [0, 1] con f(0) uguale a 1 e f(x) uguale a x per x maggiore di 0: punto isolato pieno in (0, 1), segmento che parte da (0, 0) escluso, pallino vuoto, e arriva a (1, 1) pieno; la retta orizzontale tratteggiata y uguale a m lascia dei punti del grafico sotto di sé](img/q2-6-c.png)
L'intervallo è chiuso e limitato, ma la funzione «salta» in \( x=0 \): il punto \( (0,1) \) è staccato dal resto del grafico, che si avvicina a \( (0,0) \) senza raggiungerlo. Anche qui, per ogni \( m>0 \), i punti con \( x<m \) stanno sotto la retta \( y=m \): non esiste nessun \( m>0 \) tale che \( f(x)\ge m \). Il risultato non vale senza la continuità.
Quesito 7
Considera il polinomio di terzo grado \( p(x)=x^3+ax+b \), con \( a,b\in\mathbb{R} \).
a) Dimostra che \( p \) ha almeno uno zero reale, qualunque siano \( a \) e \( b \).
b) Nel caso \( p(x)=x^3+x+1 \) individua un intervallo di ampiezza \( 1 \) che contiene uno zero e dimostra che lo zero è unico.
c) Per \( p(x)=x^3+x+1 \) determina un valore approssimato dello zero con errore minore di \( \dfrac{1}{10} \).
d) Il risultato del punto a) vale anche per i polinomi di secondo grado? Giustifica la risposta.
Soluzione del quesito 7
a) Esistenza dello zero
\( p \) è continua in \( \mathbb{R} \). Studiamo il comportamento agli estremi del dominio, mettendo in evidenza il termine di grado massimo:
\[ p(x)=x^3\left(1+\frac{a}{x^2}+\frac{b}{x^3}\right). \]La parentesi tende a \( 1 \) per \( x\to\pm\infty \), quindi
\[ \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty . \]Per la definizione di limite esiste un numero \( M>0 \) abbastanza grande tale che \( p(M)>0 \) e \( p(-M)<0 \). In \( [-M,M] \) la funzione è continua e agli estremi ha segno opposto: per il teorema degli zeri esiste \( x_0\in(-M,M) \) con \( p(x_0)=0 \). Quindi ogni polinomio \( x^3+ax+b \) ha almeno uno zero reale.
Soluzione alternativa (più intuitiva). Ogni polinomio è continuo in tutto \( \mathbb{R} \). Il termine di grado massimo \( x^3 \) decide il comportamento agli estremi: per \( x\to-\infty \) la funzione tende a \( -\infty \) e per \( x\to+\infty \) tende a \( +\infty \). Il grafico parte quindi «dal basso» a sinistra e arriva «in alto» a destra; poiché \( p \) è continua non può avere buchi né salti, perciò deve attraversare l'asse \( x \) almeno una volta: esiste almeno uno zero reale.
Lo stesso discorso vale per ogni polinomio di grado dispari: i limiti per \( x\to\pm\infty \) dipendono dal termine di grado massimo e sono \( +\infty \) da una parte e \( -\infty \) dall'altra (o viceversa).
b) Un caso particolare
Per \( p(x)=x^3+x+1 \) si ha \( p(-1)=-1-1+1=-1<0 \) e \( p(0)=1>0 \): per il teorema degli zeri esiste uno zero in \( (-1,0) \), intervallo di ampiezza \( 1 \).
Unicità. Le funzioni \( x^3 \) e \( x \) sono strettamente crescenti, quindi lo è anche la loro somma \( x^3+x \) e dunque anche \( p(x)=x^3+x+1 \). Una funzione strettamente crescente assume ogni valore al più una volta: lo zero è unico (in tutto \( \mathbb{R} \)).
c) Approssimazione
Partiamo da \( [-1,0] \), di ampiezza \( 1 \). Dopo \( n \) passi l'ampiezza è \( \dfrac{1}{2^n} \) e vogliamo \( \dfrac{1}{2^n}<\dfrac{1}{10} \), cioè \( 2^n>10 \): servono 4 passi.
| passo | intervallo di partenza | punto medio \( c \) | \( p(c) \) | nuovo intervallo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \( [-1;\,0] \) | \( -0{,}5 \) | \( +0{,}375 \) | \( [-1;\,-0{,}5] \) |
| 2 | \( [-1;\,-0{,}5] \) | \( -0{,}75 \) | \( -0{,}1719 \) | \( [-0{,}75;\,-0{,}5] \) |
| 3 | \( [-0{,}75;\,-0{,}5] \) | \( -0{,}625 \) | \( +0{,}1309 \) | \( [-0{,}75;\,-0{,}625] \) |
| 4 | \( [-0{,}75;\,-0{,}625] \) | \( -0{,}6875 \) | \( -0{,}0125 \) | \( [-0{,}6875;\,-0{,}625] \) |
Lo zero è in \( [-0{,}6875;\,-0{,}625] \), di ampiezza \( \dfrac{1}{16}=0{,}0625<0{,}1 \): possiamo assumere \( x_0\simeq-0{,}66 \) con errore minore di \( 0{,}0625 \) (il valore esatto è \( -0{,}6823\ldots \)).
Controlla con il widget: oltre a \( x^3+x+1 \) trovi anche \( x^3-3x+5 \), con \( a<0 \).
d) Polinomi di secondo grado
No. Il polinomio \( x^2+1 \) è continuo ma è sempre maggiore o uguale a \( 1 \): non ha zeri reali. Il ragionamento del punto a) non si può ripetere, perché un polinomio di grado pari ha lo stesso limite (\( +\infty \) o \( -\infty \)) per \( x\to+\infty \) e per \( x\to-\infty \): non cambia segno «agli estremi».
Quesito 8
Determina l'insieme dei valori (l'immagine) assunti dalle seguenti funzioni negli intervalli indicati.
a) \( f(x)=x^2-4x+1 \) in \( [0,5] \).
b) \( f(x)=x^2-4x+1 \) in \( (0,5) \).
c) \( g(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \) in \( \mathbb{R} \).
Soluzione del quesito 8
a) La funzione in \( [0,5] \)
Il grafico di \( f(x)=x^2-4x+1 \) è una parabola con la concavità verso l'alto. Cerchiamo il vertice e i valori agli estremi dell'intervallo.
- Vertice: \( x_V=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2 \) e \( y_V=f(2)=4-8+1=-3 \), quindi \( V(2,-3) \). Poiché \( 2\in[0,5] \), il vertice appartiene all'intervallo.
- Agli estremi: \( f(0)=1 \) e \( f(5)=25-20+1=6 \).
Disegniamo il tratto di parabola compreso fra \( x=0 \) e \( x=5 \):
Dal grafico si legge che il punto più basso è il vertice, con ordinata \( -3 \), e il punto più alto è l'estremo destro, con ordinata \( 6 \) (l'estremo sinistro arriva solo a \( 1 \)). \( f \) è continua e assume tutti i valori fra il minimo e il massimo: l'immagine è \( [-3,6] \).
b) La stessa funzione in \( (0,5) \)
Il grafico è lo stesso tratto di parabola, ma con gli estremi esclusi: \( (0,1) \) e \( (5,6) \) sono pallini vuoti.
Dal grafico si legge che:
- il vertice \( V(2,-3) \) è interno all'intervallo, quindi il minimo \( -3 \) viene assunto;
- per \( x \) vicino a \( 5 \) i valori di \( f \) si avvicinano quanto si vuole a \( 6 \), ma \( 6 \) non viene mai raggiunto perché \( x=5 \) è escluso: non c'è il massimo;
- escludere \( x=0 \) non fa perdere valori: l'ordinata \( 1 \) viene assunta anche in un altro punto, \( x=4 \).
L'immagine è quindi \( [-3,6) \): c'è il minimo, non c'è il massimo.
c) La funzione \( g \) in \( \mathbb{R} \)
Poiché \( 1+x^2\ge1 \), si ha \( 0<g(x)\le1 \), con \( g(x)=1 \) solo per \( x=0 \): il massimo è \( g(0)=1 \). Il valore \( 0 \) non viene mai assunto (una frazione con numeratore \( 1 \) non si annulla), pur essendo \( \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0 \): non esiste il minimo. Ogni valore \( y\in(0,1] \) viene assunto: \( \dfrac{1}{1+x^2}=y \) dà \( x^2=\dfrac{1}{y}-1\ge0 \), cioè \( x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{y}-1} \). L'immagine è \( (0,1] \).
Quesito 9
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere, giustificale con un teorema; se sono false, fornisci un controesempio.
a) Se \( f \) è continua in \( [a,b] \), allora \( f \) è limitata in \( [a,b] \).
b) Se \( f \) è continua e limitata in \( (0,1) \), allora ha massimo.
c) Se \( f \) ha massimo e minimo in \( [a,b] \), allora \( f \) è continua in \( [a,b] \).
d) Se \( f \) è continua in \( [a,b] \) e \( f(a)\cdot f(b)>0 \), allora \( f \) non si annulla in \( [a,b] \).
e) Se \( f \) è continua in \( [a,b] \) e non si annulla mai in \( [a,b] \), allora ha segno costante in \( [a,b] \).
f) Se \( f \) è continua in \( [a,b] \) e \( f(a)<0<f(b) \), allora \( f \) ha uno e un solo zero in \( (a,b) \).
Soluzione del quesito 9
a) Vera. Per il teorema di Weierstrass \( f \) ha minimo \( m \) e massimo \( M \) in \( [a,b] \), quindi \( m\le f(x)\le M \) per ogni \( x \): \( f \) è limitata.
b) Falsa. La funzione \( f(x)=x \) è continua e limitata in \( (0,1) \) (i valori sono compresi fra \( 0 \) e \( 1 \)), ma non ha massimo: \( 1 \) non è assunto perché \( x=1 \) non appartiene all'intervallo aperto. Qui non si può applicare Weierstrass.
c) Falsa. La funzione definita in \( [0,1] \) da \( f(x)=0 \) per \( 0\le x<\tfrac12 \) e \( f(x)=1 \) per \( \tfrac12\le x\le1 \) ha massimo \( 1 \) e minimo \( 0 \), ma non è continua in \( x=\tfrac12 \). Il teorema di Weierstrass non si può invertire.
d) Falsa. La funzione \( f(x)=x^2-1 \) in \( [-2,2] \) è continua e \( f(-2)=f(2)=3 \), quindi \( f(-2)\cdot f(2)=9>0 \), ma \( f \) si annulla in \( x=-1 \) e in \( x=1 \). Il teorema degli zeri dà una condizione sufficiente: se il prodotto agli estremi è positivo non si può concludere nulla.
e) Vera. Supponiamo per assurdo che \( f \) assuma un valore negativo in \( x_1 \) e un valore positivo in \( x_2 \). \( f \) è continua nell'intervallo di estremi \( x_1 \) e \( x_2 \): per il teorema dei valori intermedi (o degli zeri) \( f \) si annullerebbe in un punto compreso fra \( x_1 \) e \( x_2 \), contro l'ipotesi. Quindi \( f \) non cambia segno.
f) Falsa. Il teorema degli zeri garantisce almeno uno zero, non uno solo. La funzione \( f(x)=x^3-3x+1 \) del Quesito 2 è continua in \( [-2,2] \), con \( f(-2)=-1<0<3=f(2) \), ma ha tre zeri in \( (-2,2) \), come si vede dal grafico già disegnato nel Quesito 2:
Quesito 10
Sia \( f \) una funzione continua in \( [0,6] \) tale che \( f(0)=-1 \) e \( f(6)=2 \), con massimo assoluto \( 4 \) assunto in \( x=2 \) e minimo assoluto \( -3 \) assunto in \( x=5 \).
a) Dimostra che \( f \) ha almeno tre zeri.
b) Dimostra che \( f \) assume almeno due volte il valore \( 3 \).
c) Costruisci un esempio di funzione con queste proprietà e disegnane il grafico.
d) Può esistere una funzione continua in \( [0,6] \) il cui insieme dei valori sia l'intervallo \( (-3,4] \)? Perché?
Soluzione del quesito 10
a) Almeno tre zeri
Osserviamo i valori di \( f \) nei punti notevoli: \( f(0)=-1 \), \( f(2)=4 \), \( f(5)=-3 \), \( f(6)=2 \). Il segno cambia in tre intervalli:
- in \( [0,2] \): da \( -1 \) a \( 4 \);
- in \( [2,5] \): da \( 4 \) a \( -3 \);
- in \( [5,6] \): da \( -3 \) a \( 2 \).
\( f \) è continua: per il teorema degli zeri esiste almeno uno zero in ciascuno degli intervalli \( (0,2) \), \( (2,5) \), \( (5,6) \). Gli intervalli sono disgiunti, quindi gli zeri sono almeno tre.
b) Il valore 3 almeno due volte
Per il teorema dei valori intermedi:
- in \( [0,2] \), \( f \) passa da \( -1 \) a \( 4 \) e \( -1<3<4 \): esiste \( c_1\in(0,2) \) con \( f(c_1)=3 \);
- in \( [2,5] \), \( f \) passa da \( 4 \) a \( -3 \) e \( -3<3<4 \): esiste \( c_2\in(2,5) \) con \( f(c_2)=3 \).
Gli intervalli \( (0,2) \) e \( (2,5) \) sono disgiunti: \( c_1\neq c_2 \).
c) Un esempio
Uniamo con segmenti i punti \( (0,-1) \), \( (2,4) \), \( (5,-3) \), \( (6,2) \). Le equazioni dei tre tratti sono:
\[ f(x)=\begin{cases} \dfrac52x-1 & \text{se } 0\le x\le 2\\[3mm] 4-\dfrac73(x-2) & \text{se } 2<x\le 5\\[3mm] 5x-28 & \text{se } 5<x\le 6 \end{cases} \](Controlla: nel secondo tratto \( f(2)=4 \) e \( f(5)=4-7=-3 \); nel terzo \( f(5)=-3 \) e \( f(6)=2 \).) La funzione è continua perché i tratti si raccordano nei punti \( x=2 \) e \( x=5 \). Il massimo è \( 4 \) in \( x=2 \), il minimo è \( -3 \) in \( x=5 \); gli zeri sono \( x=\dfrac25 \), \( x=\dfrac{26}{7} \), \( x=\dfrac{28}{5} \), e \( f \) vale \( 3 \) in \( x=\dfrac85 \) e in \( x=\dfrac{17}{7} \).
d) Immagine \( (-3,4] \)
No. Una funzione continua in \( [0,6] \), intervallo chiuso e limitato, ha per il teorema di Weierstrass un minimo assoluto: il valore minimo viene assunto. Un insieme di valori come \( (-3,4] \) ha il massimo \( 4 \) ma non ha minimo (\( -3 \) è escluso). Per il teorema dei valori intermedi, l'immagine di \( [0,6] \) è un intervallo; per Weierstrass è chiuso e limitato: deve essere del tipo \( [m,M] \).