Test su continuità e discontinuità

Quesito 1

Considera la funzione

\[ f(x)=\begin{cases} x^2-1 & \text{se } x\le 2\\ 2x-1 & \text{se } x>2 \end{cases} \]

È continua in \(x=2\)?

A) No, perché le due espressioni sono diverse: la funzione ha un salto in \(x=2\). B) Sì, perché \(f(2)=\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=3\). C) No, perché \(f\) non è definita in \(x=2\). D) No, perché il limite sinistro vale \(3\) e il limite destro vale \(4\).

Confronta tre numeri: il valore \(f(2)\), il limite per \(x\to2^-\) e il limite per \(x\to2^+\).

Risposta corretta: B) Sì, perché \(f(2)=\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=3\).

Per essere continua in \(x=2\) la funzione deve avere \(f(2)\) uguale al limite sinistro e al limite destro. Il punto \(x=2\) appartiene al primo ramo (\(x\le2\)), quindi:

\(f(2)=2^2-1=3\)
\(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(x^2-1)=3\)
\(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(2x-1)=3\)

I tre valori coincidono: la funzione è continua in \(x=2\).

Grafico: parabola per x minore o uguale a 2 e retta per x maggiore di 2, che si raccordano nel punto (2, 3) — I due rami si incontrano nel punto (2, 3), che appartiene al grafico: la curva non si interrompe.

Le altre risposte sono errate: il fatto che le espressioni dei due rami siano diverse non basta a produrre un salto, conta il valore dei limiti; la funzione è definita in \(x=2\), perché il primo ramo comprende \(x=2\); il limite destro vale \(2\cdot2-1=3\), non \(4\).

Quesito 2

Quale delle seguenti funzioni non è continua nell'intervallo chiuso \([0,2]\)?

A) \(f(x)=e^x\) B) \(f(x)=\sin x\) C) \(f(x)=x^3-1\) D) \(f(x)=\ln x\)

Una funzione continua in \([0,2]\) deve essere definita in ogni punto dell'intervallo, estremi compresi.

Risposta corretta: D) \(f(x)=\ln x\)

Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni suo punto: in particolare deve essere definita in tutti i punti dell'intervallo.

\(e^x\), \(\sin x\) e il polinomio \(x^3-1\) sono definite e continue in tutto \(\mathbb{R}\), quindi anche in \([0,2]\);
\(\ln x\) è definita solo per \(x>0\): non è definita in \(x=0\), che è un estremo dell'intervallo \([0,2]\).

Quindi \(\ln x\) non è continua in \([0,2]\) (è continua, per esempio, in \((0,2]\)).

Quesito 3

Determina il valore di \(k\) per cui la funzione

\[ f(x)=\begin{cases} kx^2+3 & \text{se } x\le 1\\ 2x+5 & \text{se } x>1 \end{cases} \]

è continua in \(x=1\).

A) \(k=4\) B) \(k=7\) C) \(k=10\) D) \(k=2\)

Imponi che il valore \(f(1)\), il limite sinistro e il limite destro siano uguali.

Risposta corretta: A) \(k=4\)

Calcoliamo il valore della funzione e i limiti laterali in \(x=1\):

\(f(1)=k\cdot1^2+3=k+3\)
\(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(kx^2+3)=k+3\)
\(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x+5)=7\)

La continuità richiede \(k+3=7\), cioè \(k=4\).

Grafico: arco di parabola per x minore o uguale a 1 e retta per x maggiore di 1, che si raccordano nel punto (1, 7) — Con k = 4 i due rami si raccordano nel punto (1, 7).

Gli altri valori nascono da errori di calcolo: per esempio \(k=7\) si ottiene dimenticando il termine \(+3\), \(k=10\) sommando invece di sottrarre, \(k=2\) dimenticando il coefficiente \(2x\) del ramo di destra.

Quesito 4

Determina il valore di \(b\) per cui la funzione

\[ f(x)=\begin{cases} 3x-b & \text{se } x\le 0\\ \cos x & \text{se } x>0 \end{cases} \]

è continua in \(x=0\).

A) \(b=1\) B) \(b=0\) C) \(b=-1\) D) \(b=-3\)

Ricorda che \(\cos 0=1\) e che nel ramo di sinistra compare \(-b\).

Risposta corretta: C) \(b=-1\)

In \(x=0\) valgono:

\(f(0)=3\cdot0-b=-b\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(3x-b)=-b\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\cos x=\cos0=1\)

La continuità richiede \(-b=1\), cioè \(b=-1\).

Grafico: retta per x minore o uguale a 0 e coseno per x maggiore di 0, che si raccordano nel punto (0, 1) — Con b = −1 la retta y = 3x + 1 e il coseno si raccordano nel punto (0, 1).

Il valore \(b=1\) si ottiene dimenticando il segno meno davanti a \(b\); \(b=0\) confondendo \(\cos0\) con \(0\).

Quesito 5

Classifica i punti di discontinuità della funzione \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-x}\).

A) \(x=0\) e \(x=1\) sono entrambi discontinuità di seconda specie. B) \(x=0\) è una discontinuità eliminabile e \(x=1\) è una discontinuità di prima specie. C) \(x=0\) è una discontinuità di prima specie e \(x=1\) è una discontinuità eliminabile. D) \(x=0\) è una discontinuità di seconda specie e \(x=1\) è una discontinuità eliminabile.

Il denominatore si annulla in due punti: scomponi numeratore e denominatore e semplifica, poi studia separatamente i due punti.

Risposta corretta: D) \(x=0\) è una discontinuità di seconda specie e \(x=1\) è una discontinuità eliminabile.

Il denominatore \(x^2-x=x(x-1)\) si annulla per \(x=0\) e \(x=1\), che sono quindi i due punti da studiare. Scomponiamo il numeratore e semplifichiamo:

\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}\qquad (x\neq0,\ x\neq1) \]

In \(x=1\): \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x}=\frac{2}{1}=2\). Il limite è finito ma \(f\) non è definita in \(x=1\): discontinuità eliminabile (terza specie).

In \(x=0\): il numeratore tende a \(1\) e il denominatore a \(0\), cambiando segno:

\[ \lim_{x\to0^-}\frac{x+1}{x}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty\qquad\qquad \lim_{x\to0^+}\frac{x+1}{x}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty \]

I limiti sono infiniti: discontinuità di seconda specie (la retta \(x=0\) è un asintoto verticale).

Grafico di y = (x+1)/x: asintoto verticale x = 0, asintoto orizzontale y = 1, buco nel punto (1, 2) — In x = 0 c'è un asintoto verticale (seconda specie); in x = 1 il grafico ha un “buco” nel punto (1, 2): discontinuità eliminabile.

Quesito 6

La funzione \(f(x)=\dfrac{\tan x}{x}\) nel punto \(x=0\) presenta:

A) una discontinuità di prima specie (salto); B) una discontinuità eliminabile (terza specie); C) una discontinuità di seconda specie (asintoto verticale); D) nessuna discontinuità: la funzione è continua in \(x=0\).

La funzione non è definita in \(x=0\): calcola il limite per \(x\to0\), riscrivendo \(\tan x\) con seno e coseno.

Risposta corretta: B) una discontinuità eliminabile (terza specie);

La funzione non è definita in \(x=0\) (il denominatore si annulla). Calcoliamo il limite, riscrivendo \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\):

\[ \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot1=1 \]

Il limite esiste ed è finito, ma \(f(0)\) non esiste: la discontinuità è eliminabile (terza specie). Si può eliminare ponendo \(f^{*}(0)=1\).

Non è di prima specie (i limiti sinistro e destro coincidono) né di seconda specie (il limite è finito). Non è nemmeno continua in \(x=0\): una funzione non può essere continua in un punto in cui non è definita.

Quesito 7

La funzione \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^3-8}\) nel punto \(x=2\) presenta:

A) una discontinuità eliminabile, e il limite per \(x\to2\) vale \(\dfrac13\); B) una discontinuità di seconda specie; C) una discontinuità di prima specie (salto); D) una discontinuità eliminabile, e il limite per \(x\to2\) vale \(\dfrac12\).

Numeratore e denominatore si annullano entrambi in \(x=2\): scomponili (differenza di quadrati e differenza di cubi) e semplifica.

Risposta corretta: A) una discontinuità eliminabile, e il limite per \(x\to2\) vale \(\dfrac13\);

La funzione non è definita in \(x=2\), dove si presenta la forma indeterminata \(\left[\dfrac00\right]\). Scomponiamo:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2)\qquad\qquad x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) \]

Quindi, per \(x\neq2\):

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x^2+2x+4}=\frac{4}{12}=\frac13 \]

Il limite esiste ed è finito, ma \(f\) non è definita in \(x=2\): discontinuità eliminabile, con limite \(\dfrac13\).

Grafico di y = (x+2)/(x²+2x+4): curva continua con un buco nel punto (2, 1/3) — La curva si avvicina al punto (2, 1/3) da entrambi i lati, ma in x = 2 la funzione non è definita: discontinuità eliminabile.

Il valore \(\dfrac12\) si ottiene dimenticando il termine \(4\) nel denominatore \(x^2+2x+4\).

Quesito 8

Quale delle seguenti funzioni ha, nel punto indicato, una discontinuità di prima specie con salto uguale a \(2\)?

A) \(f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{se } x\le1\\ x+3 & \text{se } x>1 \end{cases}\) in \(x=1\); B) \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) in \(x=2\); C) \(f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{se } x\le0\\ x-1 & \text{se } x>0 \end{cases}\) in \(x=0\); D) \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) in \(x=0\).

Una discontinuità di prima specie richiede limiti sinistro e destro finiti e diversi: il salto è il valore assoluto della loro differenza.

Risposta corretta: C) \(f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{se } x\le0\\ x-1 & \text{se } x>0 \end{cases}\) in \(x=0\);

Il salto in \(x_0\) è \(\left|\,l_2-l_1\right|\), dove \(l_1\) e \(l_2\) sono i limiti sinistro e destro. Analizziamo le quattro funzioni.

a) In \(x=1\): \(l_1=2\cdot1+1=3\) e \(l_2=1+3=4\). Il salto è \(1\).
b) In \(x=2\): \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4\). Il limite esiste ed è finito: discontinuità eliminabile, non di prima specie.
c) In \(x=0\): \(l_1=0+1=1\) e \(l_2=0-1=-1\). I limiti sono finiti e diversi, il salto è \(|-1-1|=2\). Questa è la risposta corretta.
d) In \(x=0\): \(l_1=-\infty\) e \(l_2=+\infty\). I limiti sono infiniti: discontinuità di seconda specie.

Grafico: retta y = x + 1 per x minore o uguale a 0 e retta y = x − 1 per x maggiore di 0; salto uguale a 2 in x = 0 — Limite sinistro 1, limite destro −1: i due limiti sono finiti e diversi, il salto è |−1 − 1| = 2.

Quesito 9

La funzione \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) ha una discontinuità eliminabile in \(x=0\). Qual è il suo prolungamento continuo?

A) \(g(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{se } x\neq0\\[2mm] 0 & \text{se } x=0 \end{cases}\) B) \(g(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{se } x\neq0\\[2mm] 1 & \text{se } x=0 \end{cases}\) C) \(g(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{se } x\neq0\\[2mm] -1 & \text{se } x=0 \end{cases}\) D) Non esiste un prolungamento continuo, perché \(f\) non è definita in \(x=0\).

Il prolungamento si ottiene assegnando in \(x_0\) il valore del limite di \(f(x)\) per \(x\to x_0\).

Risposta corretta: B) \(g(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{se } x\neq0\\[2mm] 1 & \text{se } x=0 \end{cases}\)

Il prolungamento continuo di una funzione con discontinuità eliminabile in \(x_0\) si ottiene ponendo \(f^{*}(x_0)=l\), dove \(l\) è il limite di \(f\) per \(x\to x_0\). Qui il limite è il limite notevole del seno:

\[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

Quindi si pone \(g(0)=1\): la funzione \(g\) coincide con \(f\) per \(x\neq0\) ed è continua anche in \(x=0\), perché il valore assegnato è proprio il limite.

Con \(g(0)=0\) o \(g(0)=-1\) il valore in \(x=0\) sarebbe diverso dal limite e la funzione resterebbe discontinua. Il prolungamento esiste proprio perché la discontinuità è eliminabile: non importa che \(f\) non sia definita in \(x=0\).

Quesito 10

Per quali valori di \(k\) la funzione \(f(x)=\dfrac{e^x-1}{kx}\) ha in \(x=0\) una discontinuità eliminabile?

A) Solo per \(k=1\). B) Solo per \(k=0\). C) Per nessun valore di \(k\), perché \(f\) non è definita in \(x=0\). D) Per ogni \(k\neq0\).

Riscrivi \(f\) come \(\dfrac1k\cdot\dfrac{e^x-1}{x}\) e ricorda il limite notevole dell'esponenziale.

Risposta corretta: D) Per ogni \(k\neq0\).

Se \(k=0\) il denominatore \(kx\) è nullo per ogni \(x\): la funzione non esiste. Deve quindi essere \(k\neq0\). In tal caso, per il limite notevole dell'esponenziale:

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{kx}=\frac1k\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\frac1k\cdot1=\frac1k \]

Per ogni \(k\neq0\) il limite esiste ed è finito, mentre \(f\) non è definita in \(x=0\): la discontinuità è eliminabile, e il prolungamento continuo è \(f^{*}(0)=\dfrac1k\).

Non serve \(k=1\): quello è solo uno dei casi possibili. E il fatto che \(f\) non sia definita in \(x=0\) non esclude la discontinuità eliminabile: è proprio una delle due situazioni che la definiscono.