Test 2 su continuità e teoremi sulle funzioni continue

Quesito 1

Considera la funzione \(f(x)=\dfrac1x\) nell'intervallo \((0,1]\). Quale affermazione è corretta?

A) Poiché \(f\) è continua in \((0,1]\), per il teorema di Weierstrass ha massimo e minimo assoluti. B) \(f\) ha minimo assoluto \(1\) in \(x=1\), ma non ha massimo assoluto. C) \(f\) non ha né massimo né minimo assoluti. D) \(f\) ha massimo assoluto in \(x=0\) e minimo assoluto in \(x=1\).

Controlla se l'intervallo è chiuso e limitato; poi studia come varia \(f\) quando \(x\) si avvicina a \(0\).

Risposta corretta: B) \(f\) ha minimo assoluto \(1\) in \(x=1\), ma non ha massimo assoluto.

Il teorema di Weierstrass richiede una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. L'intervallo \((0,1]\) non è chiuso (manca l'estremo \(0\)), quindi il teorema non è applicabile e dobbiamo studiare direttamente la funzione.

\(f\) è decrescente in \((0,1]\): se \(0<x_1<x_2\le1\) allora \(\dfrac1{x_1}>\dfrac1{x_2}\). Il valore più piccolo è quindi \(f(1)=1\), assunto davvero: è il minimo assoluto.
Per \(x\to0^+\) si ha \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty\): \(f\) è illimitata superiormente, quindi non esiste un valore massimo.

Grafico di y = 1/x nell'intervallo (0,1]: la curva sale senza limite avvicinandosi all'asse y e ha il punto più basso in (1, 1) — Il punto \((1,1)\) è il minimo; avvicinandosi a \(x=0\) la curva sale senza limite.

Le altre risposte sono errate: l'ipotesi di Weierstrass non è soddisfatta (l'intervallo non è chiuso), quindi non può garantire massimo e minimo; il minimo però esiste, per cui la risposta C è falsa; infine \(x=0\) non appartiene all'intervallo e \(f\) non è definita in \(0\).

Quesito 2

Quale delle seguenti funzioni non soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo \([1,4]\)?

A) \(f(x)=\sqrt{x-1}\) B) \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) C) \(f(x)=\ln x\) D) \(f(x)=\tan x\)

L'intervallo \([1,4]\) è chiuso e limitato: controlla in quale caso la funzione non è continua in tutti i punti dell'intervallo.

Risposta corretta: D) \(f(x)=\tan x\)

L'intervallo \([1,4]\) è chiuso e limitato in tutti i casi: bisogna verificare la continuità in ogni punto di \([1,4]\).

\(\sqrt{x-1}\) è definita e continua per \(x\ge1\): è continua in \([1,4]\) (nell'estremo \(1\) basta la continuità da destra);
\(\dfrac{x}{x^2+1}\) ha denominatore sempre maggiore o uguale a \(1\): è continua in tutto \(\mathbb{R}\);
\(\ln x\) è definita e continua per \(x>0\), quindi in \([1,4]\);
\(\tan x\) non è definita nei punti \(x=\dfrac\pi2+k\pi\). Poiché \(1<\dfrac\pi2\approx1{,}57<4\), il punto \(x=\dfrac\pi2\) appartiene all'intervallo: lì c'è un asintoto verticale e la funzione non è continua in \([1,4]\).

Grafico di y = tan x: nell'intervallo [1,4] c'è l'asintoto verticale x = π/2, circa 1,57 — Nell'intervallo \([1,4]\) cade l'asintoto verticale \(x=\frac\pi2\): il grafico si spezza in due rami e \(\tan x\) è illimitata.

Per \(\tan x\) le ipotesi non sono soddisfatte (e infatti la funzione è illimitata in \([1,4]\)).

Quesito 3

Considera la funzione definita in \([0,2]\) da

\[ f(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } 0\le x\le 1\\ 2 & \text{se } 1<x\le 2 \end{cases} \]

Quale affermazione è corretta?

A) Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma \(f\) ha ugualmente massimo \(2\) e minimo \(1\): le ipotesi del teorema sono sufficienti, non necessarie. B) Il teorema di Weierstrass garantisce che \(f\) abbia massimo e minimo assoluti in \([0,2]\). C) \(f\) non ha né massimo né minimo assoluti, perché è discontinua in \(x=1\). D) \(f\) ha massimo assoluto \(2\), ma non ha minimo assoluto.

Il teorema dice: «se valgono le ipotesi, allora valgono massimo e minimo». Se le ipotesi non valgono, la tesi può essere vera o falsa: guarda direttamente i valori assunti da \(f\).

Risposta corretta: A) Il teorema di Weierstrass non è applicabile, ma \(f\) ha ugualmente massimo \(2\) e minimo \(1\).

In \(x=1\) si ha \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=1\) e \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=2\): c'è un salto, quindi \(f\) non è continua in \([0,2]\) e l'ipotesi di Weierstrass non è soddisfatta.

Questo non significa però che massimo e minimo non esistano: il teorema fornisce una condizione sufficiente, non necessaria. Qui la funzione assume solo due valori:

il valore \(1\) (assunto per \(0\le x\le1\)) è il minimo assoluto;
il valore \(2\) (assunto per \(1<x\le2\)) è il massimo assoluto.

Grafico di una funzione a gradino su [0,2]: vale 1 fino a x = 1 compreso e vale 2 da x = 1 escluso fino a 2 — La funzione è discontinua in \(x=1\) ma assume il valore minimo \(1\) e il valore massimo \(2\).

La risposta B è errata perché mancano le ipotesi; C e D sono errate perché \(1\) e \(2\) sono entrambi assunti dalla funzione.

Quesito 4

Sia \(f\) una funzione continua in \([-1,3]\), con \(f(-1)=10\) e \(f(3)=2\). Quale affermazione è garantita dal teorema dei valori intermedi?

A) \(f\) assume il valore \(12\) in almeno un punto di \([-1,3]\). B) \(f\) è decrescente in \([-1,3]\). C) \(f\) assume il valore \(5\) in almeno un punto di \((-1,3)\). D) \(f\) assume il valore \(5\) in uno e un solo punto di \([-1,3]\).

Il teorema riguarda i valori compresi fra \(f(-1)\) e \(f(3)\) e dice che vengono assunti almeno una volta, non esattamente una volta.

Risposta corretta: C) \(f\) assume il valore \(5\) in almeno un punto di \((-1,3)\).

Il teorema dei valori intermedi afferma che, se \(f\) è continua in \([a,b]\), allora assume tutti i valori compresi fra \(f(a)\) e \(f(b)\).

Qui \(f(3)=2<5<10=f(-1)\): esiste almeno un punto \(c\) con \(f(c)=5\). Poiché \(f(-1)\neq5\) e \(f(3)\neq5\), il punto \(c\) non è un estremo: \(c\in(-1,3)\).

Grafico di una funzione continua su [−1,3] che parte da 10 e arriva a 2 e assume il valore 5 in tre punti — Il valore \(5\) può essere assunto più di una volta (qui in tre punti): il teorema garantisce solo che sia assunto almeno una volta.

Le altre risposte non sono garantite: \(12\) è fuori dall'intervallo dei valori compresi fra \(2\) e \(10\), quindi il teorema non dice nulla; la continuità non implica la monotonia (la funzione può oscillare, come in figura); il valore \(5\) può essere assunto in più punti.

Quesito 5

La funzione \(f(x)=x^4-5\) ha almeno una radice reale nell'intervallo \([1,2]\)?

A) Sì, per il teorema degli zeri: \(f\) è continua in \([1,2]\), \(f(1)=-4<0\) e \(f(2)=11>0\). B) Sì, ma solo se \(f\) è anche crescente in \([1,2]\). C) No, perché \(\sqrt[4]{5}\) non è un numero razionale. D) No, perché \(f\) assume solo valori positivi in \([1,2]\).

Verifica che \(f\) sia continua in \([1,2]\) e calcola il segno di \(f\) agli estremi dell'intervallo.

Risposta corretta: A) Sì, per il teorema degli zeri: \(f\) è continua in \([1,2]\), \(f(1)=-4<0\) e \(f(2)=11>0\).

Il teorema degli zeri afferma che, se \(f\) è continua in \([a,b]\) e \(f(a)\cdot f(b)<0\), allora esiste almeno un punto \(c\in(a,b)\) tale che \(f(c)=0\).

\(f\) è un polinomio, quindi continua in \([1,2]\);
\(f(1)=1^4-5=-4<0\);
\(f(2)=2^4-5=11>0\).

Quindi \(f(1)\cdot f(2)=-44<0\): esiste una radice in \((1,2)\).

Grafico di y = x⁴ − 5: passa da (1, −4) a (2, 11) e interseca l'asse x in x uguale alla radice quarta di 5, circa 1,50 — Il grafico passa da \(f(1)=-4\) a \(f(2)=11\) e interseca l'asse \(x\) in \(x=\sqrt[4]{5}\approx1{,}50\).

Le altre risposte sono errate: per il teorema degli zeri la monotonia non serve (basta la continuità e il cambio di segno agli estremi); la radice \(\sqrt[4]{5}\) è un numero reale, anche se irrazionale; infine \(f(1)=-4\) è negativo.

Quesito 6

Considera \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\) nell'intervallo \([0,2]\). Si ha \(f(0)=-1<0\) e \(f(2)=3>0\), ma l'equazione \(f(x)=0\) non ha soluzioni in \([0,2]\). Perché questo non contraddice il teorema degli zeri?

A) Perché il teorema degli zeri vale solo per i polinomi. B) Perché il teorema richiede che \(f\) sia anche crescente in \([0,2]\). C) Perché \(f(0)\) e \(f(2)\) non hanno lo stesso valore assoluto. D) Perché \(f\) non è definita in \(x=1\), quindi non è continua in \([0,2]\): l'ipotesi del teorema non è soddisfatta.

Quali sono le ipotesi del teorema degli zeri? Verifica se sono tutte soddisfatte nell'intervallo \([0,2]\).

Risposta corretta: D) Perché \(f\) non è definita in \(x=1\), quindi non è continua in \([0,2]\): l'ipotesi del teorema non è soddisfatta.

Il teorema degli zeri richiede due ipotesi: \(f\) continua nell'intervallo \([a,b]\) e \(f(a)\cdot f(b)<0\). Qui la seconda è vera: \(f(0)=-1\) e \(f(2)=3\).

La prima invece è falsa: il dominio di \(f\) è \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) e \(1\in[0,2]\). In \(x=1\) c'è un asintoto verticale, quindi \(f\) non è continua in tutto l'intervallo e il teorema non si può applicare.

Infatti \(f(x)=0\) equivale a \(x+1=0\), cioè \(x=-1\), che non appartiene a \([0,2]\): la funzione passa dai valori negativi ai positivi «saltando» l'asintoto, senza mai annullarsi.

Grafico di y = (x+1)/(x−1) nell'intervallo [0,2]: asintoto verticale x = 1, f(0) = −1 e f(2) = 3, nessuna intersezione con l'asse x — Nell'intervallo \([0,2]\) il grafico non interseca l'asse \(x\): lo zero \(x=-1\) è fuori dall'intervallo.

Le altre risposte sono errate: il teorema degli zeri vale per tutte le funzioni continue, non solo per i polinomi; la monotonia non è un'ipotesi; il valore assoluto di \(f(0)\) e \(f(2)\) non c'entra.

Quesito 7

Per quale valore di \(k\) la funzione

\[ f(x)=\begin{cases} x\sin\dfrac1x & \text{se } x\neq0\\ k & \text{se } x=0 \end{cases} \]

è continua in \(x=0\)?

A) \(k=1\) B) \(k=0\) C) \(k=-1\) D) Per nessun valore di \(k\), perché \(\sin\dfrac1x\) non ha limite per \(x\to0\).

La funzione \(\sin\frac1x\) non ha limite per \(x\to0\), ma è limitata fra \(-1\) e \(1\). Usa il teorema del confronto.

Risposta corretta: B) \(k=0\)

La continuità in \(x=0\) richiede \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=k\). Per ogni \(x\neq0\) vale \(\left|\sin\dfrac1x\right|\le1\), quindi

\[ -|x|\le x\sin\frac1x\le|x| \]

Poiché \(-|x|\to0\) e \(|x|\to0\) per \(x\to0\), per il teorema del confronto anche \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0\). Deve quindi essere \(k=0\).

Grafico di y = x sin(1/x) vicino a x = 0: oscilla fra le rette y = |x| e y = −|x| e tende a 0 — La curva oscilla sempre più velocemente, ma resta compresa fra \(y=|x|\) e \(y=-|x|\): per questo tende a \(0\).

Non confondere questo limite con \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\): qui l'argomento del seno è \(\frac1x\), che non tende a \(0\). La risposta D è errata: \(\sin\frac1x\) non ha limite, ma moltiplicato per il fattore infinitesimo \(x\) il prodotto ha limite \(0\).

Quesito 8

La funzione \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\) non è definita in \(x=1\). Quale valore bisogna assegnare a \(f(1)\) affinché la funzione diventi continua in \(x=1\)?

A) \(f(1)=\dfrac12\) B) \(f(1)=\dfrac18\) C) \(f(1)=\dfrac14\) D) \(f(1)=1\)

Il limite è nella forma \(\frac00\): razionalizza il numeratore moltiplicando e dividendo per \(\sqrt{x+3}+2\).

Risposta corretta: C) \(f(1)=\dfrac14\)

Per \(x\to1\) numeratore e denominatore tendono a \(0\) (forma \(\frac00\)). Razionalizziamo il numeratore, moltiplicando numeratore e denominatore per \(\sqrt{x+3}+2\):

\[ \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}= \] \[ =\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}= \] \[ =\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}= \] \[ =\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}= \] \[ =\frac1{\sqrt{x+3}+2} \]

Per \(x\to1\) si ottiene

\[ \lim_{x\to1}f(x)=\frac1{\sqrt4+2}=\frac14 \]

Il limite esiste ed è finito, mentre \(f\) non è definita in \(x=1\): la discontinuità è eliminabile. Ponendo \(f(1)=\dfrac14\) si ottiene il prolungamento continuo.

Il valore \(\frac12\) si ottiene dimenticando il termine \(+2\) nel denominatore \(\sqrt{x+3}+2\); gli altri valori derivano da errori nella razionalizzazione.

Quesito 9

Per quali valori di \(a\) la funzione

\[ f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin(3x)}{x} & \text{se } x<0\\ a^2-1 & \text{se } x\ge0 \end{cases} \]

è continua in \(x=0\)?

A) \(a=2\) B) \(a=\pm\sqrt2\) C) \(a=\pm3\) D) \(a=\pm2\)

Calcola il limite sinistro con il limite notevole del seno, poi uguaglialo a \(f(0)=a^2-1\) e risolvi l'equazione in \(a\).

Risposta corretta: D) \(a=\pm2\)

Per la continuità in \(x=0\) devono coincidere \(f(0)\), il limite sinistro e il limite destro.

\(f(0)=a^2-1\) e, nel ramo \(x\ge0\), anche il limite destro vale \(a^2-1\);
limite sinistro: \[ \lim_{x\to0^-}\frac{\sin(3x)}{x}= \] \[ =3\cdot\lim_{x\to0^-}\frac{\sin(3x)}{3x}= \] \[ =3\cdot1=3 \]

Uguagliando: \(a^2-1=3\), cioè \(a^2=4\), quindi \(a=2\) oppure \(a=-2\).

La risposta A è incompleta: l'equazione \(a^2=4\) ha due soluzioni. Gli altri valori derivano da errori nel calcolo del limite o nell'equazione.

Quesito 10

Sia \(f\) una funzione continua in \([0,3]\), con \(f(0)=-2\) e \(f(3)=5\). Quale affermazione è certamente vera?

A) \(f\) ha almeno uno zero in \((0,3)\) e ha massimo e minimo assoluti in \([0,3]\). B) \(f\) ha uno e un solo zero in \((0,3)\). C) \(f\) è crescente in \([0,3]\). D) \(f\) ha il massimo assoluto in \(x=3\) e il minimo assoluto in \(x=0\).

Quali teoremi si applicano a una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato? Per le altre risposte, cerca un grafico che le smentisce.

Risposta corretta: A) \(f\) ha almeno uno zero in \((0,3)\) e ha massimo e minimo assoluti in \([0,3]\).

Teorema degli zeri: \(f\) è continua in \([0,3]\) e \(f(0)\cdot f(3)=-10<0\), quindi esiste almeno uno zero in \((0,3)\).
Teorema di Weierstrass: \(f\) è continua in un intervallo chiuso e limitato, quindi ha massimo e minimo assoluti.

Le altre affermazioni non sono garantite: basta un controesempio. La funzione in figura è continua in \([0,3]\), con \(f(0)=-2\) e \(f(3)=5\), ma:

ha tre zeri (punti blu), non uno solo;
non è crescente: scende, sale, scende e risale;
il suo massimo assoluto (circa \(6{,}3\)) è maggiore di \(f(3)=5\) e il suo minimo assoluto (circa \(-3{,}2\)) è minore di \(f(0)=-2\): entrambi sono assunti in punti interni.

Grafico di una funzione continua su [0,3] con f(0) = −2 e f(3) = 5: tre zeri, massimo e minimo assoluti interni all'intervallo — Una funzione continua in \([0,3]\) con \(f(0)=-2\) e \(f(3)=5\) può avere più zeri, non essere crescente e avere massimo e minimo in punti interni.