QUESTIONARIO SUI LIMITI CON FORME INDETERMINATE
(senza limiti notevoli)

Soluzione del quesito 1

Forma indeterminata

Sostituendo \(x=1\) si ottiene \(\dfrac00\).

Scomposizione

Il numeratore è una differenza di quadrati:

\[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \]

Semplificando il fattore \(x-1\) rimane \(x+1\).

Calcolo del limite

\[ \lim_{x\to1}(x+1)=2 \]

Soluzione del quesito 2

Forma indeterminata

Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).

Razionalizzazione

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{1+2x}+1\):

\[ \frac{\left(\sqrt{1+2x}-1\right)\left(\sqrt{1+2x}+1\right)}{x\left(\sqrt{1+2x}+1\right)}=\frac{(1+2x)-1}{x\left(\sqrt{1+2x}+1\right)}=\] \[=\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+2x}+1\right)} \]

Semplificando \(x\):

\[ \frac{2}{\sqrt{1+2x}+1} \]

Calcolo del limite

\[ \lim_{x\to0}\frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}=\frac{2}{1+1}=1 \]

Soluzione del quesito 3

Forma indeterminata

Il limite si presenta nella forma \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado.

Raccoglimento della potenza di grado maggiore

Mettiamo in evidenza \(x^2\) al numeratore e al denominatore:

\[ \frac{5x^2+3}{2x^2-1}=\frac{x^2\left(5+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{5+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{1}{x^2}} \]

Calcolo del limite

Per \(x\to+\infty\) si ha \(\dfrac{3}{x^2}\to0\) e \(\dfrac{1}{x^2}\to0\):

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{1}{x^2}}=\frac{5+0}{2-0}=\frac52 \]

Soluzione del quesito 4

Forma indeterminata

Il limite si presenta nella forma \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Il numeratore ha grado \(3\) e il denominatore ha grado \(4\).

Raccoglimento della potenza di grado maggiore

Dividiamo numeratore e denominatore per \(x^4\):

\[ \frac{3x^3-2}{x^4+1}=\frac{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^4}}{1+\frac{1}{x^4}} \]

Calcolo del limite

Per \(x\to-\infty\) si ha \(\dfrac{3}{x}\to0\) e \(\dfrac{2}{x^4}\to0\), \(\dfrac{1}{x^4}\to0\):

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^4}}{1+\frac{1}{x^4}}=\frac{0-0}{1+0}=0 \]

Soluzione del quesito 5

Forma indeterminata

Per \(x\to\dfrac{\pi}{2}\) sia \(\tan x\) sia \(\dfrac{1}{\cos x}\) diventano infiniti con lo stesso segno da ciascun lato: il limite si presenta nella forma indeterminata \(+\infty-\infty\) (per \(x\to\dfrac{\pi}{2}^-\)) e \(-\infty+\infty\) (per \(x\to\dfrac{\pi}{2}^+\)).

Denominatore comune

Scriviamo la tangente come rapporto fra seno e coseno:

\[ \tan x-\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x-1}{\cos x} \]

Ora la forma è \(\dfrac00\), perché per \(x\to\dfrac{\pi}{2}\) si ha \(\sin x-1\to0\) e \(\cos x\to0\).

Moltiplicazione per \(1+\sin x\)

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(1+\sin x\):

\[ \frac{(\sin x-1)(\sin x+1)}{\cos x\,(1+\sin x)}=\frac{\sin^2x-1}{\cos x\,(1+\sin x)} \]

Dall'identità \(\sin^2x+\cos^2x=1\) si ha \(\sin^2x-1=-\cos^2x\), quindi:

\[ \frac{-\cos^2x}{\cos x\,(1+\sin x)}=-\frac{\cos x}{1+\sin x} \]

Calcolo del limite

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(-\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)=-\frac{0}{1+1}=0 \]

Soluzione del quesito 6

Forma indeterminata

Sostituendo \(x=2\) si ottiene \(\dfrac00\).

Scomposizione

Scomponiamo il numeratore (differenza di cubi) e il denominatore (differenza di quadrati):

\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) \qquad x^2-4=(x-2)(x+2) \]

Semplificando il fattore \(x-2\):

\[ \frac{x^2+2x+4}{x+2} \]

Calcolo del limite

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2+2x+4}{x+2}=\frac{4+4+4}{4}=\frac{12}{4}=3 \]

Soluzione del quesito 7

Forma indeterminata

Sostituendo \(x=3\) si ottiene \(\dfrac00\).

Scomposizione

Scomponiamo numeratore e denominatore:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \qquad x^2-6x+9=(x-3)^2 \]

Semplificando un fattore \(x-3\):

\[ \frac{x+3}{x-3} \]

Studio del segno

Per \(x\to3^-\) il numeratore tende a \(6\), mentre il denominatore \(x-3\) tende a \(0\) da valori negativi (\(x<3\)). Il limite ha ora la forma \(\dfrac{6}{0^-}\), che non è più indeterminata:

\[ \lim_{x\to3^-}\frac{x+3}{x-3}=-\infty \]

Soluzione del quesito 8

Forma indeterminata

Sostituendo \(x=0\) si ottiene \(\dfrac00\).

Razionalizzazione

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{4+x}+2\):

\[ \frac{\left(\sqrt{4+x}-2\right)\left(\sqrt{4+x}+2\right)}{x\left(\sqrt{4+x}+2\right)}=\frac{(4+x)-4}{x\left(\sqrt{4+x}+2\right)}=\frac{x}{x\left(\sqrt{4+x}+2\right)} \]

Semplificando \(x\):

\[ \frac{1}{\sqrt{4+x}+2} \]

Calcolo del limite

\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{4+x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14 \]

Soluzione del quesito 9

Forma indeterminata

Il limite si presenta nella forma \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado.

Raccoglimento della potenza di grado maggiore

Dividiamo numeratore e denominatore per \(x^3\):

\[ \frac{2x^3+1}{5x^3-7}=\frac{2+\frac{1}{x^3}}{5-\frac{7}{x^3}} \]

Calcolo del limite

Per \(x\to+\infty\) si ha \(\dfrac{1}{x^3}\to0\) e \(\dfrac{7}{x^3}\to0\):

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{x^3}}{5-\frac{7}{x^3}}=\frac{2+0}{5-0}=\frac25 \]

Soluzione del quesito 10

Che cosa succede

Il fattore \(x\) tende a \(+\infty\), mentre \(\sin x\) continua a oscillare fra \(-1\) e \(1\) e non ha limite. Non è una forma indeterminata da "sciogliere" con un'operazione algebrica: dobbiamo capire come si comporta la funzione.

Un confronto che non basta

Da \(-1\leq\sin x\leq1\) si ottiene:

\[ -x\leq x\sin x\leq x \]

ma i due estremi tendono a \(-\infty\) e a \(+\infty\): questo confronto non permette di concludere nulla sul limite.

Due successioni di punti

• Nei punti \(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) si ha \(\sin x=1\), quindi \(f(x)=x\to+\infty\).
• Nei punti \(x=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\) si ha \(\sin x=-1\), quindi \(f(x)=-x\to-\infty\).

Avvicinandosi a \(+\infty\) in due modi diversi, la funzione ha limiti diversi (\(+\infty\) e \(-\infty\)).