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ESERCIZI DI RIEPILOGO SUI LIMITI
📚 Disponibile anche in versione DSA
Svolgi ciascun quesito, poi premi "Soluzione Quesito N" per controllare il procedimento e il risultato. Puoi aprire e chiudere le soluzioni in qualsiasi ordine.
Questi esercizi di riepilogo propongono 10 limiti di tipo vario: per alcuni serve un limite notevole, per altri una tecnica diversa (razionalizzazione, scomposizione, valore assoluto, limiti laterali). Prima di calcolare, prova a sostituire: riconosci se c'è una forma indeterminata e scegli la strategia adatta.
Quesito 1
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos3x}\]
Soluzione del quesito 1
Forma indeterminata
Sostituendo \( x=0 \) si ottiene \( \dfrac00 \), perché \( 1-\cos0=0 \).
Riscrittura
Calcoliamo il limite del reciproco, in cui compare il limite notevole del coseno. Per far comparire \( (3x)^2 \) al denominatore moltiplichiamo e dividiamo per \( 9 \):
\[ \frac{1-\cos3x}{x^2}=9\cdot\frac{1-\cos3x}{(3x)^2} \]Applicazione del limite notevole
Poniamo \( t=3x \): se \( x\to0 \), allora \( t\to0 \), e \( \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12 \). Quindi:
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos3x}{x^2}=9\cdot\frac12=\frac92 \]Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos3x}=\frac{1}{\frac92}=\frac29 \]Quesito 2
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-3}\right)\]
Soluzione del quesito 2
Forma indeterminata
Per \( x\to+\infty \) entrambe le radici tendono a \( +\infty \): è la forma indeterminata \( +\infty-\infty \).
Razionalizzazione
Moltiplichiamo e dividiamo per la somma delle due radici:
\[ \sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-3}=\frac{(x^2+4x)-(x^2-3)}{\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2-3}}=\frac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2-3}} \]Raccoglimento
Per \( x\to+\infty \) è \( x>0 \), quindi \( x=\sqrt{x^2} \). Dividiamo numeratore e denominatore per \( x \):
\[ \frac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2-3}}=\frac{4+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}} \]Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{4+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}}=\frac{4+0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\frac42=2 \]Quesito 3
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}\]
Soluzione del quesito 3
Forma indeterminata
Per \( x\to\infty \) la base \( \dfrac{x-1}{x+3} \) tende a \( 1 \) e l'esponente \( x+2 \) tende a \( \infty \): è la forma indeterminata \( 1^{\infty} \).
Riscrittura per isolare il numero \( e \)
Scriviamo la base nella forma \( 1+\dfrac1t \):
\[ \frac{x-1}{x+3}=1-\frac{4}{x+3} \]Poniamo \( t=-\dfrac{x+3}{4} \): allora \( -\dfrac{4}{x+3}=\dfrac1t \), \( x=-4t-3 \) e \( x+2=-4t-1 \). Per \( x\to\infty \) si ha \( t\to\infty \) e:
\[ \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}=\left(1+\frac1t\right)^{-4t-1}=\left[\left(1+\frac1t\right)^{t}\right]^{-4}\cdot\left(1+\frac1t\right)^{-1} \]Applicazione del limite notevole
Il limite notevole di Nepero \( \displaystyle\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1t\right)^t=e \) vale sia per \( t\to+\infty \) sia per \( t\to-\infty \). Inoltre \( \left(1+\dfrac1t\right)^{-1}\to1 \).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x+2}=e^{-4}\cdot1=e^{-4} \]Quesito 4
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{e^x-1}\]
Soluzione del quesito 4
Forma indeterminata
Sostituendo \( x=0 \) si ottiene \( \dfrac00 \).
Riscrittura
Moltiplichiamo e dividiamo per \( \sin x \) e per \( x \) (entrambi diversi da \( 0 \) per \( x\neq0 \) vicino a \( 0 \)), per far comparire tre limiti notevoli:
\[ \frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{e^x-1}=\frac{(1+\sin x)^{1/2}-1}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{x}{e^x-1} \]Applicazione dei limiti notevoli
- Primo fattore: con \( t=\sin x\to0 \) è il limite notevole della potenza \( \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha \), con \( \alpha=\dfrac12 \): tende a \( \dfrac12 \).
- Secondo fattore: limite notevole del seno, tende a \( 1 \).
- Terzo fattore: reciproco del limite notevole dell'esponenziale \( \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 \), quindi tende a \( 1 \).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{e^x-1}=\frac12\cdot1\cdot1=\frac12 \]Quesito 5
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to1^+}\frac{x^2-7x+6}{x-1}\]
Soluzione del quesito 5
Forma indeterminata
Sostituendo \( x=1 \) si ottiene \( \dfrac00 \), perché \( 1-7+6=0 \).
Scomposizione
Il numeratore si annulla per \( x=1 \) e per \( x=6 \), quindi:
\[ x^2-7x+6=(x-1)(x-6) \]Semplificando il fattore \( x-1 \):
\[ \frac{x^2-7x+6}{x-1}=\frac{(x-1)(x-6)}{x-1}=x-6 \]Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{x^2-7x+6}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(x-6)=1-6=-5 \]In questo quesito non serve nessun limite notevole: basta la scomposizione.
Quesito 6
Calcola, se esiste, il seguente limite:
\[\lim_{x\to1}\frac{x^2+|x-1|-1}{x-1}\]
Soluzione del quesito 6
Forma indeterminata
Sostituendo \( x=1 \) si ottiene \( \dfrac00 \). Poiché compare un valore assoluto, calcoliamo separatamente il limite destro e il limite sinistro.
Limite destro \( (x\to1^+) \)
Per \( x>1 \) si ha \( |x-1|=x-1 \):
\[ \frac{x^2+(x-1)-1}{x-1}=\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\ \longrightarrow\ 3 \]Limite sinistro \( (x\to1^-) \)
Per \( x<1 \) si ha \( |x-1|=-(x-1)=1-x \):
\[ \frac{x^2+(1-x)-1}{x-1}=\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x\ \longrightarrow\ 1 \]Conclusione
Il limite destro e il limite sinistro esistono ma sono diversi (\( 3\neq1 \)): il limite non esiste.
Quesito 7
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to\left(\frac{\pi}{6}\right)^+}\left(\frac12\right)^{\frac{1}{1-2\sin x}}\]
Soluzione del quesito 7
Che tipo di limite è
La base è la costante \( \dfrac12 \), diversa da \( 1 \): non si tratta di una forma indeterminata \( 1^\infty \). Studiamo il comportamento dell'esponente.
L'esponente
Per \( x\to\left(\dfrac\pi6\right)^+ \) il seno è maggiore di \( \dfrac12 \) (il seno è crescente fra \( 0 \) e \( \dfrac\pi2 \)) e tende a \( \dfrac12 \). Quindi \( 1-2\sin x \) è negativo e tende a \( 0 \):
\[ 1-2\sin x\to0^-\ \Longrightarrow\ \frac{1}{1-2\sin x}\to-\infty \]Calcolo del limite
Scriviamo la potenza con base maggiore di \( 1 \):
\[ \left(\frac12\right)^{y}=2^{-y} \qquad\text{con } y=\frac{1}{1-2\sin x}\to-\infty \]Poiché \( -y\to+\infty \):
\[ \lim_{x\to\left(\frac{\pi}{6}\right)^+}\left(\frac12\right)^{\frac{1}{1-2\sin x}}=\lim_{-y\to+\infty}2^{-y}=+\infty \]Quesito 8
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+x}}{x-1}\]
Soluzione del quesito 8
Forma indeterminata
Numeratore e denominatore tendono a \( +\infty \): forma indeterminata \( \dfrac{\infty}{\infty} \).
Raccoglimento
Per \( x\to+\infty \) è \( x>0 \), quindi \( x=\sqrt{x^2} \). Dividiamo numeratore e denominatore per \( x \):
\[ \frac{\sqrt{x^2+x}}{x-1}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{1-\frac{1}{x}} \]Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt{1+0}}{1-0}=1 \]Quesito 9
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0^+}\frac{\ln\left[(1+\tan x)^2\right]}{e^{2x}-1}\]
Soluzione del quesito 9
Forma indeterminata
Sostituendo \( x=0 \) si ottiene \( \dfrac00 \): il numeratore vale \( \ln1=0 \) e il denominatore \( e^0-1=0 \).
Riscrittura
Per \( x \) vicino a \( 0 \) è \( 1+\tan x>0 \), quindi \( \ln\left[(1+\tan x)^2\right]=2\ln(1+\tan x) \). Scriviamo poi il denominatore come \( 2x\cdot\dfrac{e^{2x}-1}{2x} \) e inseriamo \( \tan x \):
\[ \frac{2\ln(1+\tan x)}{e^{2x}-1}=\frac{\ln(1+\tan x)}{\tan x}\cdot\frac{\tan x}{x}\cdot\frac{2x}{e^{2x}-1} \]Applicazione dei limiti notevoli
- Primo fattore: con \( t=\tan x\to0 \) è il limite notevole del logaritmo \( \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 \).
- Secondo fattore: limite notevole della tangente \( \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1 \).
- Terzo fattore: con \( u=2x\to0 \) è il reciproco del limite notevole dell'esponenziale \( \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1 \), quindi tende a \( 1 \).
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln\left[(1+\tan x)^2\right]}{e^{2x}-1}=1\cdot1\cdot1=1 \]Quesito 10
Calcola il seguente limite:
\[\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x-\arctan x}{\cos x}\]
Soluzione del quesito 10
Non è una forma indeterminata
Prima di usare un limite notevole conviene sempre provare a sostituire. Per \( x=0 \):
- il numeratore vale \( \arcsin0-\arctan0=0-0=0 \);
- il denominatore vale \( \cos0=1 \), che è diverso da \( 0 \).
Si ottiene quindi \( \dfrac01 \), che non è indeterminata.
Calcolo del limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{\arcsin x-\arctan x}{\cos x}=\frac{0}{1}=0 \]