Test 1 sui limiti notevoli (con Timer)

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Quesito 1

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x}\)

A) 0 B) \(\frac{2}{3}\) C) 1 D) Non esiste

Pensa al limite notevole di sin(kx)/(kx) e a come isolare le costanti.

Risposta corretta: B) \(\frac{2}{3}\)

Applichiamo il limite notevole \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1\): \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{3}\]

Sostituiamo il limite notevole (che vale 1): \[1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\]

Quesito 2

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}\)

A) 0 B) \(\frac{9}{2}\) C) 1 D) Non esiste

Ricorda il limite notevole (1−cos(kx))/x² e il ruolo del quadrato di k.

Risposta corretta: B) \(\frac{9}{2}\)

Usiamo il limite notevole \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(kx)}{x^2} = \frac{k^2}{2}\) (si ottiene da \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(kx)}{(kx)^2}\cdot k^2\)): \[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}\]

Quesito 3

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin(x)}\)

A) 0 B) 1 C) \(+\infty\) D) Non esiste

Metti in relazione (eˣ−1)/x e sin(x)/x, moltiplicando e dividendo per x.

Risposta corretta: B) 1

Applichiamo i limiti notevoli \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\) e \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\): \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{\sin(x)}\]

Sostituiamo i due limiti notevoli: \[1 \cdot 1 = 1\]

Quesito 4

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}\)

A) 0 B) 2 C) 1 D) Non esiste

Ricorda il limite notevole ln(1+kx)/(kx) e il ruolo della costante k.

Risposta corretta: B) 2

Applichiamo il limite notevole \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\), quindi \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + kx)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + kx)}{kx} \cdot k = 1\cdot k = k\): \[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2\]

Quesito 5

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\)

A) 0 B) 1 C) \(+\infty\) D) Non esiste

Scrivi tan(x) come sin(x)/cos(x) e usa il limite notevole del seno.

Risposta corretta: B) 1

Scriviamo \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) e usiamo \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\): \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1\]

Quesito 6

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 - x)^{1/4} - 1}{2x}\)

A) 0 B) \(-\frac{1}{8}\) C) 1 D) Non esiste

Ricorda il limite notevole ((1+x)ᵃ−1)/x, con a esponente qualsiasi.

Risposta corretta: B) \(-\frac{1}{8}\)

Usiamo il limite notevole generale \(\displaystyle\lim_{u \to 0} \frac{(1 + u)^a - 1}{u} = a\). Scriviamo \((1-x)^{1/4} = (1+(-x))^{1/4}\), quindi con \(u=-x\) e \(a=\frac14\): \[\lim_{x \to 0} \frac{(1 - x)^{1/4} - 1}{x} = \lim_{x\to0}\frac{(1+(-x))^{1/4}-1}{-x}\cdot(-1) = \frac14\cdot(-1) = -\frac14\]

Il denominatore della domanda è \(2x\), non \(x\): dividiamo ulteriormente per \(2\): \[\lim_{x \to 0} \frac{(1 - x)^{1/4} - 1}{2x} = \frac{-\frac14}{2} = -\frac18\]

Quesito 7

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{2x}\)

A) 0 B) \(-\frac{1}{4}\) C) 1 D) Non esiste

Prova a razionalizzare moltiplicando per il «coniugato» del numeratore.

Risposta corretta: B) \(-\frac{1}{4}\)

Razionalizziamo il numeratore, moltiplicando e dividendo per \(\sqrt{1-x}+1\): \[\frac{\sqrt{1 - x} - 1}{2x} \cdot \frac{\sqrt{1 - x} + 1}{\sqrt{1 - x} + 1} = \frac{(1 - x) - 1}{2x (\sqrt{1 - x} + 1)}\]

Semplifichiamo: \[\frac{-x}{2x (\sqrt{1 - x} + 1)} = \frac{-1}{2 (\sqrt{1 - x} + 1)}\]

Calcoliamo il limite (sostituendo \(x=0\), ora possibile): \[\frac{-1}{2 (\sqrt{1 - 0} + 1)} = \frac{-1}{4}\]

Quesito 8

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin(x)}\)

A) 0 B) 1 C) \(\frac{1}{2}\) D) Non esiste

Scrivi (1−cos x)/sin x come prodotto di due limiti notevoli diversi.

Risposta corretta: A) 0

Usiamo i due limiti notevoli \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0\) e \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\): \[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} = 0 \cdot 1 = 0\]

Quesito 9

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}\)

A) 0 B) 1 C) \(+\infty\) D) Non esiste

Il seno è una funzione limitata: pensa al teorema del confronto.

Risposta corretta: A) 0

Osserviamo che \(|\sin(x)| \leq 1\) per ogni \(x\), quindi per \(x>0\): \[\left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq \frac{1}{x}\]

Poiché \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\), per il teorema del confronto (con \(-\frac1x\) e \(\frac1x\) come «carabinieri»): \[\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0\]

Quesito 10

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{3x^2}\)

A) 0 B) \(\frac{1}{3}\) C) 1 D) Non esiste

Pensa al limite notevole (eᵗ−1)/t, ponendo t = x².

Risposta corretta: B) \(\frac{1}{3}\)

Poniamo \(t=x^2\) (con \(t\to0^+\) quando \(x\to0\)) e applichiamo il limite notevole \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t} = 1\): \[\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{3x^2} = \frac{1}{3}\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2} = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}\]