Test 2 sui limiti notevoli

💡 Per una visualizzazione ottimale delle formule, se stai usando lo smartphone disponilo orizzontalmente.

Leggi ogni quesito, scegli la risposta fra le quattro proposte e controlla la soluzione guidata premendo "Mostra Spiegazione". Se vuoi un suggerimento premi il bottone "Aiuto".
In fondo alla pagina premi "Verifica le risposte" per vedere l'esito del test e premi "Ricomincia il test" per rifare il test.

Quesito 1

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(2x)}\)

A) \(\frac{2}{5}\) B) 0 C) \(\frac{5}{2}\) D) 1

Dividi numeratore e denominatore per x e ricostruisci il limite notevole del seno in ciascuno.

Risposta corretta: C) \(\frac{5}{2}\)

Dividiamo numeratore e denominatore per \(x\) e, in ciascuno, ricostruiamo il limite notevole \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\): \[\frac{\sin(5x)}{\sin(2x)} = \frac{5\cdot\dfrac{\sin(5x)}{5x}}{2\cdot\dfrac{\sin(2x)}{2x}}\]

Per \(x\to0\) i due rapporti tendono a \(1\): \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(2x)} = \frac{5\cdot 1}{2\cdot 1} = \frac{5}{2}\]

Attenzione: il coefficiente del numeratore resta al numeratore, quindi il risultato non è \(\frac{2}{5}\).

Quesito 2

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x\sin x}\)

A) 2 B) 4 C) 1 D) 0

Scrivi il denominatore come x²·(sin x / x) e ricorda che (1−cos kx)/x² tende a k²/2.

Risposta corretta: A) 2

Scriviamo il denominatore come \(x\sin x = x^2\cdot\dfrac{\sin x}{x}\) e dividiamo il numeratore per \(x^2\): \[\frac{1-\cos(2x)}{x\sin x} = \frac{1-\cos(2x)}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin x}\]

Usiamo \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(kx)}{x^2} = \frac{k^2}{2}\) con \(k=2\) e \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin x}=1\): \[\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(2x)}{x\sin x} = \frac{2^2}{2}\cdot 1 = 2\]

Attenzione: il valore \(4\) si ottiene dimenticando di dividere per \(2\) nel limite notevole del coseno.

Quesito 3

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\ln(1 + 2x)}\)

A) \(\frac{2}{3}\) B) 3 C) 1 D) \(\frac{3}{2}\)

Moltiplica e dividi per 3x e per 2x per ricostruire i due limiti notevoli.

Risposta corretta: D) \(\frac{3}{2}\)

Ricostruiamo i limiti notevoli \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t}=1\) e \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1\), moltiplicando e dividendo per \(3x\) e per \(2x\): \[\frac{e^{3x}-1}{\ln(1+2x)} = \frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot\frac{2x}{\ln(1+2x)}\cdot\frac{3x}{2x}\]

I primi due fattori tendono a \(1\) e l'ultimo vale \(\frac{3}{2}\) (la \(x\) si semplifica): \[\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\ln(1+2x)} = 1\cdot 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\]

Quesito 4

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 2^x}{x}\)

A) \(\ln 3\) B) \(\ln\frac{3}{2}\) C) \(\ln 2\) D) 1

Sottrai e aggiungi 1 al numeratore per usare il limite notevole (aˣ−1)/x → ln a.

Risposta corretta: B) \(\ln\frac{3}{2}\)

Il limite notevole \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a\) (per ogni base positiva \(a\)) si applica a ciascuna potenza separatamente. Sottraiamo e aggiungiamo \(1\) al numeratore: \[\frac{3^x-2^x}{x} = \frac{(3^x-1)-(2^x-1)}{x} = \frac{3^x-1}{x}-\frac{2^x-1}{x}\]

I due limiti valgono \(\ln 3\) e \(\ln 2\): \[\lim_{x \to 0} \frac{3^x-2^x}{x} = \ln 3-\ln 2=\ln\frac{3}{2}\]

Quesito 5

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}\)

A) 0 B) \(\frac{1}{2}\) C) 2 D) 1

Aggiungi e togli 1 al numeratore e usa il limite notevole ((1+u)ᵃ−1)/u → a.

Risposta corretta: D) 1

Spezziamo il numeratore aggiungendo e togliendo \(1\): \[\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} = \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}+\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}\]

Per il limite notevole \(\displaystyle\lim_{u \to 0}\frac{(1+u)^a-1}{u}=a\) con \(a=\frac12\), il primo addendo tende a \(\frac12\). Nel secondo scriviamo \(\dfrac{1-\sqrt{1-x}}{x}=\dfrac{\sqrt{1-x}-1}{-x}\) e poniamo \(u=-x\): anch'esso tende a \(\frac12\).

Quindi: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} = \frac12+\frac12 = 1\]

Verifica: razionalizzando il numeratore si ottiene \(\dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\), che per \(x\to0\) tende a \(\dfrac{2}{2}=1\).

Quesito 6

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x\)

A) \(\frac{1}{e}\) B) \(e\) C) 1 D) 0

Scrivi x/(x+1) come 1/(1+1/x) e ricorda il limite notevole del numero di Nepero.

Risposta corretta: A) \(\frac{1}{e}\)

La base tende a \(1\) e l'esponente a \(+\infty\): forma indeterminata \(1^{\infty}\). Riscriviamo la base: \(\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{1+\frac1x}\), quindi \[\left(\frac{x}{x+1}\right)^x = \frac{1}{\left(1+\dfrac1x\right)^x}\]

Per il limite notevole \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\): \[\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x}{x+1}\right)^x = \frac{1}{e}\]

Attenzione: la base tende a \(1\), ma questo non basta per concludere che il limite valga \(1\).

Quesito 7

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)\)

A) \(\frac{1}{3}\) B) 0 C) 3 D) 1

Poni t = 3/x: per x → +∞ si ha t → 0⁺.

Risposta corretta: C) 3

È una forma indeterminata \(\infty\cdot 0\). Poniamo \(t=\dfrac3x\): per \(x\to+\infty\) si ha \(t\to0^+\) e \(x=\dfrac3t\). Allora: \[x\ln\left(1+\frac3x\right)=\frac3t\cdot\ln(1+t)=3\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}\]

Per il limite notevole \(\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1\): \[\lim_{x \to +\infty}x\ln\left(1+\frac3x\right)=3\cdot 1=3\]

Quesito 8

Calcola: \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x-1}\)

A) \(\pi\) B) \(-\pi\) C) 0 D) 1

Poni t = x − 1 e ricorda che sin(a + π) = −sin a.

Risposta corretta: B) \(-\pi\)

Poniamo \(t=x-1\): per \(x\to1\) si ha \(t\to0\) e \(x=t+1\). Allora \(\sin(\pi x)=\sin(\pi t+\pi)=-\sin(\pi t)\), perché aggiungendo \(\pi\) il seno cambia segno.

Ricostruiamo il limite notevole del seno: \[\lim_{x \to 1}\frac{\sin(\pi x)}{x-1}=\lim_{t \to 0}\frac{-\sin(\pi t)}{t}=-\pi\cdot\lim_{t \to 0}\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=-\pi\cdot 1=-\pi\]

Attenzione al segno: il risultato è \(-\pi\), non \(\pi\).

Quesito 9

Determina il valore del parametro reale \(k\) per cui \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{\sin(3x)} = 2\).

A) \(k = 6\) B) \(k = \frac{3}{2}\) C) \(k = \frac{2}{3}\) D) \(k = 2\)

Per k ≠ 0 riconduci il limite a k/3 e imponi k/3 = 2.

Risposta corretta: A) \(k = 6\)

Per \(k\neq0\) ricostruiamo i limiti notevoli dell'esponenziale e del seno: \[\frac{e^{kx}-1}{\sin(3x)}=\frac{e^{kx}-1}{kx}\cdot\frac{3x}{\sin(3x)}\cdot\frac{k}{3}\]

I primi due fattori tendono a \(1\), quindi il limite vale \(\dfrac{k}{3}\). Imponiamo che sia uguale a \(2\): \[\frac{k}{3}=2 \quad\Rightarrow\quad k=6\]

Il valore trovato è accettabile perché \(k=6\neq0\). (Per \(k=0\) il numeratore sarebbe nullo e il limite varrebbe \(0\).)

Quesito 10

Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

A) \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\) B) \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\) C) \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x^2}=1\) D) \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1\)

Per ogni affermazione controlla che il denominatore sia lo stesso infinitesimo che compare nel numeratore.

Risposta corretta: C) \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x^2}=1\)

L'affermazione falsa è la C. Il limite notevole dell'esponenziale richiede al denominatore lo stesso infinitesimo che compare nell'esponente: \(e^x-1\) è asintotico a \(x\), non a \(x^2\).

Infatti \[\frac{e^x-1}{x^2}=\frac{e^x-1}{x}\cdot\frac1x\] e il primo fattore tende a \(1\), mentre \(\dfrac1x\) tende a \(+\infty\) per \(x\to0^+\) e a \(-\infty\) per \(x\to0^-\). Il limite vale \(+\infty\) da destra e \(-\infty\) da sinistra: il limite non esiste.

Le altre tre affermazioni sono vere: \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\), \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\) e \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1\) sono limiti notevoli.