Test 3 sui limiti notevoli

Risposta corretta: C) Il procedimento non è conclusivo...

Spezzando il limite si arriva a \(+\infty-\infty\), che è una forma indeterminata: ciò significa soltanto che quel metodo non permette di concludere, non che il limite di partenza non esista (A è falsa). Anche il limite di \(\frac{\cos x}{x^2}\) è davvero \(+\infty\), perché \(\cos x \to 1\) e \(x^2\to0^+\) (D è falsa).

Per calcolare il limite si moltiplicano numeratore e denominatore per \(1+\cos x\):

Risposta corretta: B) No: il denominatore è stato cambiato...

La seconda uguaglianza è sbagliata: \(\frac{\sin(3x)}{3x}\) è un terzo di \(\frac{\sin(3x)}{x}\). Per cambiare il denominatore occorre compensare:

Il limite notevole è usabile (D è falsa, perché \(3x\to0\) quando \(x\to0\)); l'errore è soltanto il fattore \(3\) dimenticato. Il valore \(\frac13\) (C) deriva dal compensare nel verso sbagliato.

Risposta corretta: D) Sì, la manipolazione dell'esponente...

Il procedimento è del tutto corretto: \(x=\frac{2x}{2}\), quindi \(\left(1+\frac1{2x}\right)^x=\left[\left(1+\frac1{2x}\right)^{2x}\right]^{1/2}\). Ponendo \(t = 2x\), per \(x \to +\infty\) si ha \(t \to +\infty\) e l'espressione diventa \(\left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t\right]^{1/2}\to e^{1/2} = \sqrt{e}\).

Non è vero che una forma \(1^{\infty}\) fa sempre 1 (B): è una forma indeterminata, e qui il risultato è \(\sqrt e\). Il risultato \(e^2\) (A) si otterrebbe con l'esponente \(4x\), non con \(x\).

Risposta corretta: A) Sì, ha correttamente moltiplicato e diviso per x²...

Il passaggio è formalmente ineccepibile. Nel calcolo dei limiti si considera un intorno ridotto di \(x=0\), cioè punti con \(x \neq 0\): moltiplicare e dividere per \(x^2\) è quindi lecito (C è falsa). Si ha \[\frac{\ln(1+x^2)}{\sin^2 x} = \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} \cdot \left(\frac{x}{\sin x}\right)^{2}\to 1 \cdot 1 = 1,\] perché \(\frac{\ln(1+t)}{t}\to1\) con \(t=x^2\to0\) e \(\frac{\sin x}{x}\to1\).

Numeratore e denominatore sono infinitesimi dello stesso ordine (B è falsa). L'equivalenza \(\sin^2x\sim\frac{x^2}{2}\) (D) è una confusione con \(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\): in realtà \(\sin^2 x\sim x^2\).

Risposta corretta: C) No: la sostituzione non è lecita in una differenza...

È vero che \(\tan x\sim x\) e \(\sin x\sim x\) (B è falsa), ma la sostituzione di un infinitesimo con uno equivalente è lecita nei prodotti e nei quozienti, non nelle somme e differenze: nella differenza \(\tan x-\sin x\) i termini principali \(x\) si cancellano, e contano i termini successivi, che la sostituzione ha scartato.

Si calcola correttamente così:

Una sostituzione lecita sarebbe, ad esempio, \(\frac{e^{2x}-1}{x}\sim\frac{2x}{x}=2\), perché si tratta di un quoziente. Il limite esiste (D è falsa): \(x^3\to0\) non impedisce l'esistenza del limite di un rapporto.

Risposta corretta: D) Falsa...

Se \(\frac{f(x)}{x} \to 1\), allora \(f(x) = \frac{f(x)}{x} \cdot x \to 1 \cdot 0 = 0\) per \(x \to 0\). Ma la continuità in \(x=0\) richiede \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\), cioè \(f(0)=0\), e l'ipotesi non dice nulla su \(f(0)\) (la funzione potrebbe perfino non essere definita in 0).

Controesempio: \(f(x)=x\) per \(x\neq0\), \(f(0)=1\). Il rapporto \(\frac{f(x)}{x}=1\) per \(x\ne0\) tende a 1, ma \(f\) non è continua in 0. L'affermazione è quindi falsa. L'opzione C è impossibile proprio perché \(\lim f(x)=0\) è finito; la B è falsa perché il limite è invece legato alla continuità (a condizione che il valore in 0 coincida).

Risposta corretta: B) Vera...

L'identità \(f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln f(x)}\) vale per ogni \(f(x)>0\). Se \(f\to1\) e \(g\to\infty\), allora \(\ln f\to0\) e l'esponente ha la forma \(\infty\cdot0\), trattabile con i limiti notevoli (ad esempio \(\frac{\ln(1+t)}{t}\to1\)).

Attenzione: il risultato non è sempre \(e\) (e non è sempre 1, come dice C). Con base che tende a 1 ed esponente che tende a \(+\infty\): \[\left(1+\tfrac1x\right)^x\to e,\qquad\left(1+\tfrac2x\right)^x\to e^2,\qquad\left(1+\tfrac1{x^2}\right)^x\to1.\] Nell'ultimo caso l'esponente \(x\ln\!\left(1+\frac1{x^2}\right)\sim\frac1x\to0\).

Risposta corretta: A) Falsa: in gradi il limite vale π/180.

Il limite notevole si dimostra con la geometria della circonferenza, usando l'arco misurato in radianti. Se \(x\) è in gradi, il seno è quello dell'angolo \(\frac{\pi x}{180}\) radianti, e \[\frac{\sin\left(\frac{\pi x}{180}\right)}{x}=\frac{\pi}{180}\cdot\frac{\sin\left(\frac{\pi x}{180}\right)}{\frac{\pi x}{180}}\;\longrightarrow\;\frac{\pi}{180}\cdot1=\frac{\pi}{180}.\] Il valore del seno non cambia con l'unità di misura (B), ma il rapporto con il numero \(x\) sì, perché il numero \(x\) cambia.

Risposta corretta: C) Falsa...

Due funzioni equivalenti differiscono per un termine di ordine superiore. In un prodotto o in un quoziente questo termine resta trascurabile; in una differenza, invece, i termini principali possono cancellarsi, e allora contano proprio i termini scartati.

Esempio: \(\sin x\sim x\), ma sostituendo si ottiene \(\frac{x-x}{x^3}=0\), mentre (come si può verificare con strumenti che ancora non abbiamo) \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac16\). Lo stesso errore compare nel Quesito 5. Non basta la continuità (B), e la sostituzione nei prodotti e nei quozienti è lecita (D è falsa).

Risposta corretta: B) Vera...

Dire che il limite del rapporto è 1 è la definizione di equivalenza asintotica: \(\ln(1+x)\sim x\) per \(x\to0\). Le due funzioni hanno la stessa parte principale (e quindi lo stesso ordine di infinitesimo), ma non sono uguali: la loro differenza è un infinitesimo di ordine superiore a \(x\) (C è falsa).

Con il logaritmo in base 10 si avrebbe \(\frac{\log_{10}(1+x)}{x}\to\frac1{\ln10}\approx0{,}434\): ancora lo stesso ordine di infinitesimo, ma non l'equivalenza con \(x\) (D è falsa).