Test 4 sui limiti notevoli

Soluzione: ① \(3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}\), ② \(3x\), ③ \(3\).

Per avere \(3x\) al denominatore si moltiplica e si divide per \(3\):

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}=\lim_{x \to 0}3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}.\]

Con \(t=3x\) si ha \(t\to0\) quando \(x\to0\), quindi

\[3\cdot\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t}=3\cdot1=3.\]

Le tessere \(\frac13\cdot\frac{\sin 3x}{3x}\) e \(\frac13\) nascono dal compensare nel verso sbagliato; \(\frac{x}{3}\) non è la sostituzione che porta \(\sin 3x\) nella forma \(\sin t\).

Soluzione: ① \(\frac{\tan 2x}{2x}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}\cdot\frac{2}{5}\), ② \(1\), ③ \(\frac25\).

Si inseriscono \(2x\) e \(5x\) in modo da far comparire i limiti notevoli; le costanti che si ottengono si compensano nel fattore \(\frac{2x}{5x}=\frac25\):

\[\frac{\tan 2x}{\sin 5x}=\frac{\tan 2x}{2x}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}\cdot\frac{2}{5}.\]

Per \(x\to0\) si ha \(\frac{\tan 2x}{2x}\to1\) (con \(t=2x\)) e \(\frac{5x}{\sin 5x}\to1\) (reciproco del limite notevole del seno, con \(t=5x\)). Quindi il limite vale \(1\cdot1\cdot\frac25=\frac25\).

La tessera con \(\frac52\) nasce compensando nel verso sbagliato: \(\frac52\) è il reciproco di \(\frac25\).

Soluzione: ① \(\frac{1-\cos 4x}{(4x)^2}\cdot\frac{2x}{\sin 2x}\cdot 8\), ② \(1\), ③ \(4\).

Si moltiplica e si divide per \((4x)^2=16x^2\) e per \(2x\): la costante che resta è

\[\frac{16x^2}{x\cdot 2x}=8,\qquad\text{quindi}\qquad\frac{1-\cos 4x}{x\sin 2x}=\frac{1-\cos 4x}{(4x)^2}\cdot\frac{2x}{\sin 2x}\cdot 8.\]

Per \(x\to0\): il primo fattore tende a \(\frac12\) (limite notevole del coseno con \(t=4x\)), il secondo a \(1\) (reciproco del limite notevole del seno con \(t=2x\)). Il limite vale \(\frac12\cdot1\cdot8=4\).

Con la costante \(4\) al posto di \(8\) si otterrebbe \(\frac12\cdot1\cdot4=2\): è il risultato sbagliato della tessera \(2\).

Soluzione: ① \(\left[\left(1-\frac{2}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right]^{-6}\), ② \(e\), ③ \(e^{-6}\).

Per far comparire l'esponente \(-\frac{x}{2}\) (il reciproco di \(-\frac{2}{x}\)) si scrive \(3x=\left(-\frac{x}{2}\right)\cdot(-6)\):

\[\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3x}=\left[\left(1-\frac{2}{x}\right)^{-\frac{x}{2}}\right]^{-6}.\]

Con \(t=-\frac{x}{2}\) si ha \(t\to-\infty\) e \(\left(1+\frac1t\right)^t\to e\) (il limite notevole vale \(e\) sia per \(t\to+\infty\) sia per \(t\to-\infty\)). Quindi il limite vale \(e^{-6}\).

Se si elevasse a \(+6\) l'esponente complessivo sarebbe \(-3x\): si otterrebbe \(e^{6}\), che è il risultato di un limite diverso.

Soluzione: ① \(e^{x}\cdot\frac{e^{2x}-1}{x}\), ② \(2e^{x}\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}\), ③ \(2\).

Si raccoglie \(e^{x}\) al numeratore: \(e^{3x}-e^{x}=e^{x}\left(e^{2x}-1\right)\), quindi

\[\frac{e^{3x}-e^{x}}{x}=e^{x}\cdot\frac{e^{2x}-1}{x}.\]

Per usare il limite notevole dell'esponenziale con \(t=2x\) serve \(2x\) al denominatore: si moltiplica e si divide per \(2\):

\[e^{x}\cdot\frac{e^{2x}-1}{x}=2e^{x}\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}.\]

Per \(x\to0\): \(e^{x}\to1\) e \(\frac{e^{2x}-1}{2x}\to1\), quindi il limite vale \(2\cdot1\cdot1=2\).

Raccogliere \(e^{3x}\) o scrivere \(e^{x}\left(e^{3x}-1\right)\) è un errore: non è un'identità. Compensare con \(\frac12\) invece di \(2\) porterebbe al valore \(\frac12\).

Soluzione: 1) C, 2) B, 3) E.

1) Con \(t=5x\): \(\displaystyle\frac{e^{5x}-1}{3x}=\frac53\cdot\frac{e^{5x}-1}{5x}\to\frac53\cdot1=\frac53\) (limite C).

2) Con \(t=2x\): \(\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{x^2}=4\cdot\frac{1-\cos 2x}{(2x)^2}\to4\cdot\frac12=2\) (limite B).

3) Con \(t=\frac{x}{2}\): \(\displaystyle\left(1+\frac2x\right)^x=\left[\left(1+\frac1t\right)^t\right]^2\to e^2\) (limite E).

I limiti A e D non servono in questo blocco.

Soluzione: 1) D, 2) B, 3) A.

1) \(\displaystyle\frac{\tan 6x}{3x}=2\cdot\frac{\tan 6x}{6x}\to2\cdot1=2\) (opzione D).

2) \(\displaystyle\frac{1-\cos x}{3x^{2}}=\frac13\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}\to\frac13\cdot\frac12=\frac16\) (opzione B).

3) \(\displaystyle\frac{\ln(1+3x)}{2x}=\frac32\cdot\frac{\ln(1+3x)}{3x}\to\frac32\cdot1=\frac32\) (opzione A).

I valori \(6\) e \(\frac23\) derivano da compensazioni sbagliate (costante moltiplicata invece che divisa, o reciproca).

Soluzione: 1) B, 2) A, 3) C.

1) \(\displaystyle\frac{\sin 4x}{x}=4\cdot\frac{\sin 4x}{4x}\), quindi il limite vale \(4\), non \(1\): manca il fattore \(4\) che compensa (opzione B).

2) Il limite notevole \(\frac{\sin t}{t}\to1\) vale solo per \(t\to0\); qui \(x\to+\infty\). In realtà \(\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x\to0\), quindi il limite vale \(0\) (opzione A).

3) \(\displaystyle\left(1+\frac1x\right)^{x^2}=\left[\left(1+\frac1x\right)^{x}\right]^{x}\): la base tende a \(e\) e l'esponente a \(+\infty\), quindi il limite è \(+\infty\), non \(e\). Il limite notevole richiede che l'esponente sia proprio \(x\) (opzione C).

Soluzione: 1) D, 2) E, 3) C.

1) Per \(x\to0\): la base \(\cos x\to1\) e l'esponente \(\frac{1}{x^{2}}\to+\infty\). Si presenta la forma \(1^{\infty}\) (opzione D).

2) Il numeratore \(e^{x}-1\to0\) e il denominatore \(\cos x\to1\): si ha \(\frac01\), che non è indeterminata e vale \(0\) (opzione E). Il limite notevole dell'esponenziale qui non serve.

3) \(\ln(x+1)\to+\infty\) e \(\ln x\to+\infty\): si presenta \(+\infty-\infty\) (opzione C). Si risolve con le proprietà dei logaritmi: \(\ln\frac{x+1}{x}=\ln\left(1+\frac1x\right)\to\ln1=0\).

Soluzione: 1) E, 2) B, 3) D.

1) Per \(x>0\) è \(|x|=x\) e \(\displaystyle\frac{\sin x}{|x|}=\frac{\sin x}{x}\to1\) per \(x\to0^{+}\). Per \(x<0\) è \(|x|=-x\) e \(\displaystyle\frac{\sin x}{|x|}=-\frac{\sin x}{x}\to-1\) per \(x\to0^{-}\). I limiti laterali sono diversi: il limite non esiste (opzione E).

2) \(\displaystyle\left|\frac{\cos x}{x^{2}+1}\right|\le\frac{1}{x^{2}+1}\to0\): per il teorema del confronto il limite vale \(0\) (opzione B).

3) Con \(t=3x\to0\): \((1+t)^{\frac1t}\to e\) (opzione D). Gli esiti \(1\) e \(+\infty\) non servono.