Compito in Classe di Matematica

a) Studio di \(f(x) = 3\sin^2 x - 2\sin^3 x\) su \([0,\, 2\pi]\)

Fattorizzazione e segno

Raccogliamo \(\sin^2 x\):

Poiché \(\sin^2 x \geq 0\) sempre e \(3 - 2\sin x \geq 1 > 0\) per ogni \(x\) (il massimo di \(\sin x\) è 1), la funzione è sempre non negativa su \([0, 2\pi]\). Gli zeri si hanno solo dove \(\sin x = 0\): \(x = 0,\, \pi,\, 2\pi\).

Derivata prima e punti critici

Poniamo \(f'(x) = 0\) su \([0, 2\pi]\). Il prodotto si annulla quando almeno uno dei fattori è zero:

• \(\sin x = 0\): \(x = 0,\, \pi,\, 2\pi\);
• \(\cos x = 0\): \(x = \tfrac{\pi}{2},\, \tfrac{3\pi}{2}\);
• \(\sin x = 1\): \(x = \tfrac{\pi}{2}\) (già incluso nel caso precedente).

I punti critici distinti sono quindi: \(x = 0,\, \tfrac{\pi}{2},\, \pi,\, \tfrac{3\pi}{2},\, 2\pi\).

Studio del segno di \(f'(x) = 6\sin x \cos x (1 - \sin x)\)

Analizziamo il segno di ciascun fattore nei quattro intervalli aperti in cui si suddivide \([0, 2\pi]\):

• \(1 - \sin x \geq 0\) sempre su \([0, 2\pi]\), poiché \(\sin x \leq 1\). Questo fattore non cambia mai segno e si annulla solo in \(x = \tfrac{\pi}{2}\).
• Il segno di \(f'(x)\) dipende quindi dal segno di \(\sin x \cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x\).

Valori della funzione nei punti critici interni:

• \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 1\) → massimo relativo;
• \(f(\pi) = 3(0)^2 - 2(0)^3 = 0\) → minimo relativo (e zero della funzione);
• \(f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = 3(-1)^2 - 2(-1)^3 = 3 + 2 = 5\) → massimo assoluto.

Derivata seconda e flessi

Partiamo da \(f'(x) = 6\sin x\cos x(1-\sin x)\) e applichiamo la regola del prodotto. Scriviamo \(f'(x) = 6 \cdot u(x) \cdot v(x)\) con:

• \(u(x) = \sin x \cos x\)  →  \(u'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x\)
• \(v(x) = 1 - \sin x\)  →  \(v'(x) = -\cos x\)

Applicando \((uv)' = u'v + uv'\):

Sostituiamo \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) in tutti i termini:

Raccogliamo il fattore comune \((1 - \sin x)\):

Espandiamo la parentesi quadra:

Risultato finale:

Poniamo \(t = \sin x\): \(3t^2 + t - 1 = 0\), con soluzioni \(t_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}\). Ciascun valore dà due soluzioni in \([0, 2\pi],\) per un totale di 4 punti di flesso.

Grafico di \(f(x) = 3\sin^2 x - 2\sin^3 x\) su \([0,\, 2\pi]\).

b) Grafico qualitativo di \(f'(x)\)

Per dedurre il grafico di \(f'\) da quello di \(f\) si usano i seguenti principi:

• dove \(f\) è crescente → \(f'(x) > 0\);
• dove \(f\) è decrescente → \(f'(x) < 0\);
• nei punti di massimo o minimo di \(f\) → \(f'(x) = 0\);
• nei punti di flesso di \(f\) → \(f'\) ha un massimo o minimo locale.

Ne segue che \(f'\) si annulla in \(x = 0,\, \tfrac{\pi}{2},\, \pi,\, \tfrac{3\pi}{2},\, 2\pi\), è positiva su \((0, \tfrac{\pi}{2})\) e \((\pi, \tfrac{3\pi}{2})\), negativa su \((\tfrac{\pi}{2}, \pi)\) e \((\tfrac{3\pi}{2}, 2\pi)\).

Il massimo assoluto di \(f\) in \(x = \tfrac{3\pi}{2}\) è molto più alto di quello in \(x = \tfrac{\pi}{2}\), quindi il picco positivo di \(f'\) su \((\pi, \tfrac{3\pi}{2})\) è molto più pronunciato di quello su \((0, \tfrac{\pi}{2})\).

Grafico qualitativo di \(f'(x)\): zeri in \(0,\, \tfrac{\pi}{2},\, \pi,\, \tfrac{3\pi}{2},\, 2\pi\).

c) Teorema di Rolle sull'intervallo \(\left[\dfrac{\pi}{2},\, a\right]\)

Il Teorema di Rolle richiede che \(f\) sia continua su \([\tfrac{\pi}{2}, a]\), derivabile su \((\tfrac{\pi}{2}, a)\) e che \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = f(a)\). Le prime due condizioni sono soddisfatte (polinomio in \(\sin x\)).

Poiché \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 1\), dobbiamo trovare il più piccolo \(a > \tfrac{\pi}{2}\) tale che \(f(a) = 1\).

Risoluzione di \(f(x) = 1\)

Poniamo \(t = \sin x\). Il polinomio \(2t^3 - 3t^2 + 1\) ha radice \(t = 1\). Dividendo:

Le soluzioni sono \(t = 1\) (doppia) e \(t = -\tfrac{1}{2}\).

• \(\sin x = 1 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2}\) (punto di partenza, escluso);
• \(\sin x = -\tfrac{1}{2} \Rightarrow x = \tfrac{7\pi}{6}\) oppure \(x = \tfrac{11\pi}{6}\) su \([0, 2\pi]\).

Il più piccolo \(a > \tfrac{\pi}{2}\) è:

Verifica

Su \(\left[\tfrac{\pi}{2},\, \tfrac{7\pi}{6}\right]\) si ha \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = f\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) = 1\), quindi il Teorema di Rolle garantisce l'esistenza di \(c \in \left(\tfrac{\pi}{2},\, \tfrac{7\pi}{6}\right)\) con \(f'(c) = 0\). Effettivamente \(c = \pi\) soddisfa questa condizione. ✓

d) Area della regione \(\mathcal{R}\)

Regione \(\mathcal{R}\).

Poiché \(f(x) \geq 0\) su tutto \([0, 2\pi]\), l'area è:

Calcolo di \(\displaystyle\int_0^{2\pi} 3\sin^2 x\, dx\)

Calcolo di \(\displaystyle\int_0^{2\pi} 2\sin^3 x\, dx\)

Scriviamo \(\sin^3 x = \sin x(1 - \cos^2 x)\):

Risultato

a) Studio di \(f(x) = \dfrac{x^3 - x^2 - x}{x^2 - 1}\)

Dominio

Il denominatore si annulla per \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\). Dominio: \(\mathbb{R} \setminus \{-1,\, 1\}\).

Divisione polinomiale e forma ridotta

Per dividere \(x^3 - x^2 - x\) per \(x^2 - 1\):

  x³ - x² - x         | x² - 1
-(x³      - x)        |-------
--------------        | x - 1 (Quoziente)
     - x² + 0         |
   -(- x² + 1)        |
   -----------        |
          - 1         | (Resto)

Otteniamo Quoziente \(Q(x) = x - 1\) e Resto \(R = -1\). La funzione si scrive:

Asintoti

• Verticali: \(x = 1\) e \(x = -1\).
• Obliquo: Poiché \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 1} = 0\), l'asintoto è:
  \[ \boxed{y = x - 1} \]

Derivata prima e punti stazionari

Utilizzando la forma ridotta \(f(x) = x - 1 - (x^2-1)^{-1}\):

Per i punti stazionari risolviamo \(f'(x) = 0\), ovvero \((x^2 - 1)^2 = -2x\).

Questa equazione di quarto grado non è elementare; uno studio grafico delle due funzioni \(a(x) = (x^2 - 1)^2\) e \(b(x) = -2x\) mostra che esistono due valori \(x_1\) e \(x_2\) con:

Confronto grafico tra \(a(x)=(x^2-1)^2\) (curva rossa) e \(b(x)=-2x\) (linea blu).

La funzione ammette un massimo relativo in \(x = x_1\) (con \(-2 < x_1 < -1\)) e un minimo relativo in \(x = x_2\) (con \(-1 < x_2 < 0\)).

Derivata seconda e concavità

Partiamo da \(f'(x) = 1 + 2x(x^2-1)^{-2}\) e deriviamo nuovamente. Il termine costante \(1\) si annulla; per il secondo termine usiamo la regola del prodotto con \(u(x)=2x\) e \(v(x)=(x^2-1)^{-2}\):

• \(u'(x) = 2\)
• \(v'(x) = -2(x^2-1)^{-3} \cdot 2x = -\dfrac{4x}{(x^2-1)^3}\)

Portiamo tutto allo stesso denominatore \((x^2-1)^3\):

Raccogliendo \(-2\) al numeratore:

Studio del segno di \(f''(x)\)

Analizziamo separatamente numeratore e denominatore:

• Numeratore \(-2(3x^2+1)\): poiché \(3x^2+1 \geq 1 > 0\) sempre, il numeratore è sempre negativo.
• Denominatore \((x^2-1)^3\): ha lo stesso segno di \(x^2-1\), quindi:
  • positivo per \(x < -1\) o \(x > 1\);
  • negativo per \(-1 < x < 1\).

Non ci sono punti di flesso: il numeratore \(-2(3x^2+1)\) non si annulla mai, e i punti \(x = \pm 1\) sono esclusi dal dominio.

Grafico di \(f(x)\): asintoti verticali \(x = \pm 1\) e obliquo \(y = x - 1\).

b) Tangente in \(O\) parallela all'asintoto obliquo

La pendenza dell'asintoto obliquo \(y = x - 1\) è \(m = 1\).

Calcoliamo \(f'(0)\):

c) Circonferenza tangente

La tangente in \(O\) è \(y = x\). Il centro \(C\) giace sulla perpendicolare \(y = -x\). Poniamo \(C = (a,\, -a)\).

Raggio (distanza \(CO\)): \(r = \sqrt{a^2 + (-a)^2} = |a|\sqrt{2}\).

Tangenza all'asintoto \(x - y - 1 = 0\):

Risolvendo: \(2a - 1 = -2a \Rightarrow 4a = 1 \Rightarrow a = 1/4\).
Centro \(C(1/4, -1/4)\) e raggio \(r = \sqrt{2}/4\).

d) Area della regione interna al triangolo ed esterna alla circonferenza

La regione richiesta è composta dai due triangoli mistilinei IFE e JDE, interni al trapezio IJFD.

La regione richiesta è la parte di piano interna al triangolo \(ODF\) ed esterna alla circonferenza. L'area si calcola in due passi:

1. Calcoliamo l'area del trapezio \(IFDJ\). Esso si ottiene sottraendo dal triangolo \(ODF\) il triangolo rettangolo \(OIJ\):
   \[ \mathcal{A}_{IFDJ} = \mathcal{A}_{ODF} - \mathcal{A}_{OIJ} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]
2. Sottraiamo dal trapezio l'area del semicerchio di diametro \(JI\):
   \[ \mathcal{A}_{semi} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{\pi}{16} \]

e) Grafico qualitativo di \(y = \ln f(x)\)

La funzione \(y = \ln f(x)\) è definita esclusivamente dove \(f(x) > 0\), ovvero in:

\((-1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \quad \text{e} \quad (\frac{1+\sqrt{5}}{2}, +\infty)\)

• Asintoti verticali: dove \(f(x) \to 0^+\) il logaritmo tende a \(-\infty\); dove \(f(x) \to +\infty\) anche \(\ln f(x)\) tende a \(+\infty\).
• Monotonia: poiché il logaritmo naturale è strettamente crescente, la monotonia di \(\ln f(x)\) segue fedelmente quella di \(f(x)\).

In tratteggio blu il grafico di \(f\), in rosso il grafico di \(\ln f\).

Determinazione dell'equazione della parabola

La parabola ha asse parallelo all'asse \(y\) e vertice \(V(1, 1)\). Utilizziamo l'equazione in forma vertice:

Imponendo il passaggio per il punto \(A(0, 2)\):

a) Punto Q di minima area

Il punto \(B\) ha ascissa \(3\), quindi \(f(3) = 9 - 6 + 2 = 5\). Abbiamo \(A(0, 2)\) e \(B(3, 5)\).
Sia \(Q(x, y)\) un generico punto sull'arco \(AB\), con \(0 \leq x \leq 3\) e \(y = x^2 - 2x + 2\).

Rappresentazione dei due trapezi rettangoli sotto i segmenti AQ e QB. L'area totale è minima quando Q ha ascissa \(x=3/2\).

I due trapezi rettangoli hanno come basi le ordinate dei punti e come altezze le differenze tra le ascisse:

• Trapezio sotto AQ: basi \(y_A=2\) e \(y_Q=y\), altezza \(x\). Area \(S_1 = \frac{2+y}{2} \cdot x\).
• Trapezio sotto QB: basi \(y_Q=y\) e \(y_B=5\), altezza \(3-x\). Area \(S_2 = \frac{y+5}{2} \cdot (3-x)\).

La funzione da minimizzare è la somma delle aree \(S(x) = S_1 + S_2\):

Troviamo il minimo derivando: \(S'(x) = \frac{3}{2}(2x - 3)\).
\(S'(x) = 0\) per \(x = 3/2\). Poiché \(S''(x) = 3 > 0\), si tratta di un minimo.

L'ordinata è \(y = f(3/2) = 5/4\).

b) Punto L di area massima (Teorema di Lagrange)

L'area del triangolo ALB è massima quando la retta tangente t in L è parallela alla corda AB.

L'area del triangolo \(ALB\) è massima quando l'altezza relativa alla base \(AB\) è massima. Geometricamente, ciò accade nel punto \(L\) in cui la retta tangente alla parabola è parallela alla corda \(AB\).

Il coefficiente angolare della corda \(AB\) è:

Per il Teorema di Lagrange, applicato a \(f(x) = x^2 - 2x + 2\) su \([0, 3]\), esiste \(c\) con \(0 < c < 3\) tale che:

L'ordinata del punto \(L\) è:

Definizioni Preliminari

Siano \(P\) l'evento "Paolo fa centro" e \(G\) l'evento "Giovanni fa centro":

• \(p(P) = 0.75 = \frac{3}{4}\)   \(\implies\)   probabilità di errore: \(p(\bar{P}) = 0.25 = \frac{1}{4}\)
• \(p(G) = 0.80 = \frac{4}{5}\)   \(\implies\)   probabilità di errore: \(p(\bar{G}) = 0.20 = \frac{1}{5}\)

La moneta stabilisce chi inizia con probabilità \(\frac{1}{2}\).

a) Probabilità che Giovanni vinca al quinto tiro

Affinché Giovanni vinca al quinto tiro, i primi 4 tiri devono essere tutti falliti e il quinto deve essere un centro di Giovanni. L'ordine dei tiratori dipende da chi inizia:

• Caso 1: Inizia Paolo. L'ordine è P, G, P, G, P.
  Al quinto tiro tira Paolo, quindi Giovanni non può vincere.
  Probabilità: \(0\).
• Caso 2: Inizia Giovanni. L'ordine è G, P, G, P, G.
  Giovanni vince al quinto tiro se:
  • Giovanni sbaglia i suoi primi 2 tiri: \(\left(\frac{1}{5}\right)^2\)
  • Paolo sbaglia i suoi primi 2 tiri: \(\left(\frac{1}{4}\right)^2\)
  • Giovanni centra al quinto tiro: \(\frac{4}{5}\)
  \[ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2000} = \frac{1}{1000} \]

b) Probabilità che Paolo vinca entro il quarto tiro

Paolo vince "entro il quarto tiro" se fa centro al 1°, 2°, 3° o 4° lancio totale. Distinguiamo i due scenari:

• Scenario 1: Inizia Paolo (probabilità 1/2)
  Paolo tira al 1° e al 3° lancio.
  • Vince al 1° tiro: \(P(P_1) = \frac{3}{4} = 0.75\)
  • Vince al 3° tiro: \(P(\bar{P}_1 \cap \bar{G}_2 \cap P_3) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{80} = 0.0375\)
  \[\text{Parziale Scenario 1} = \frac{1}{2} \cdot (0.75 + 0.0375) = \mathbf{0.39375}\]
• Scenario 2: Inizia Giovanni (probabilità 1/2)
  Paolo tira al 2° e al 4° lancio.
  • Vince al 2° tiro: \(P(\bar{G}_1 \cap P_2) = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = 0.15\)
  • Vince al 4° tiro: \(P(\bar{G}_1 \cap \bar{P}_2 \cap \bar{G}_3 \cap P_4) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = 0.0075\)
  \[\text{Parziale Scenario 2} = \frac{1}{2} \cdot (0.15 + 0.0075) = \mathbf{0.07875}\]

c) Probabilità che abbia iniziato Paolo sapendo che il primo centro avviene al 15° tiro

Indichiamo con \(C\) l'evento "primo centro al 15° tiro", con \(I_P\) "ha iniziato Paolo" e con \(I_G\) "ha iniziato Giovanni".

Poiché il 15° tiro è dispari, tira il giocatore che ha iniziato la gara.

1. Probabilità che inizi Paolo e il primo centro avvenga al 15° tiro

Devono verificarsi: 7 errori di Paolo, 7 errori di Giovanni, centro finale di Paolo al 15° tiro.

2. Probabilità che inizi Giovanni e il primo centro avvenga al 15° tiro

Devono verificarsi: 7 errori di Giovanni, 7 errori di Paolo, centro finale di Giovanni al 15° tiro.

Probabilità totale del primo centro al 15° tiro

Probabilità condizionata (Teorema di Bayes)

d) Algoritmo e codifica in linguaggio di programmazione

Descrizione della procedura

La gara prevede tiri alternati tra Giovanni e Paolo. Poiché ad iniziare è Giovanni, la sequenza dei tiri è:

• Tiri dispari (1°, 3°, 5°, …): tira Giovanni (probabilità di centro \(\frac{4}{5}\), di errore \(\frac{1}{5}\));
• Tiri pari (2°, 4°, 6°, …): tira Paolo (probabilità di centro \(\frac{3}{4}\), di errore \(\frac{1}{4}\)).

Affinché Paolo vinca esattamente al tiro \(n\)-esimo (con \(n\) necessariamente pari), devono verificarsi tutte le seguenti condizioni:

• Giovanni sbaglia i suoi \(\dfrac{n}{2}\) tiri (tutti i dispari fino al tiro \(n-1\)):   \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n/2}\)
• Paolo sbaglia i suoi \(\dfrac{n}{2}-1\) tiri (tutti i pari fino al tiro \(n-2\)):   \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n/2-1}\)
• Paolo centra al tiro \(n\)-esimo:   \(\dfrac{3}{4}\)

Se \(n\) è dispari, al tiro \(n\) tira Giovanni: la probabilità che Paolo vinca è \(0\).

Per \(n \geq 16\) la probabilità è praticamente zero (inferiore a \(10^{-10}\)) e il programma la segnala direttamente.

Linguaggio C++

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    char scelta;

    do {
        cout << "QUESITO: Calcolare la probabilita' che Paolo vinca all'ennesimo lancio" << endl;
        cout << "sapendo che ad iniziare e' stato Giovanni." << endl;
        cout << "------------------------------------------------------------" << endl;

        do {
            cout << "Inserisci il numero del lancio (n > 0): ";
            cin >> n;

            if (cin.fail()) {
                cin.clear();
                cin.ignore(10000, '\n');
                n = -1;
            }

            if (n <= 0) {
                cout << "ERRORE: devi inserire un intero positivo." << endl;
            }

        } while (n <= 0);

        cout << fixed << setprecision(10);

        if (n >= 16) {
            cout << "\nRISPOSTA: La probabilita' e' praticamente zero per n maggiore o uguale a 16." << endl;
        }
        else if (n % 2 != 0) {
            cout << "\nRISPOSTA: La probabilita' e' 0.0 perche' al lancio "
                 << n << " tira Giovanni." << endl;
        }
        else {
            double pP = 0.75, pG = 0.80;
            double prob = pow(1 - pG, n / 2) * pow(1 - pP, (n / 2) - 1) * pP;

            cout << "\nRISPOSTA: La probabilita' che Paolo vinca al lancio "
                 << n << " e': " << prob << endl;
        }

        cout << "\nVuoi eseguire di nuovo il programma? (s/n): ";
        cin >> scelta;

    } while (scelta == 's' || scelta == 'S');

    cout << "Programma terminato." << endl;

    return 0;
}
        

Linguaggio Pascal

program ProbabilitaPaolo;
uses math;

var
  n: integer;
  prob: real;
  scelta: char;

begin
  repeat
    writeln('QUESITO: Probabilita'' che Paolo vinca all''ennesimo lancio');
    writeln('se ad iniziare e'' stato Giovanni.');
    writeln('------------------------------------------------------------');

    repeat
      write('Inserisci il numero del lancio (n > 0): ');
      readln(n);

      if (n <= 0) then
        writeln('ERRORE: devi inserire un intero positivo.');
    until (n > 0);

    if (n mod 2 <> 0) then
      writeln(#10, 'RISPOSTA: La probabilita'' e'' 0.0 (al lancio ', n, ' tira Giovanni)')
    else if (n >= 16) then
      writeln(#10, 'RISPOSTA: La probabilita'' e'' praticamente zero per n >= 16')
    else
    begin
      prob := power(0.20, n div 2) * power(0.25, (n div 2) - 1) * 0.75;
      writeln(#10, 'RISPOSTA: La probabilita'' che Paolo vinca al lancio ', n, ' e'': ', prob:0:10);
    end;

    writeln;
    write('Vuoi eseguire di nuovo il programma? (s/n): ');
    readln(scelta);

  until (scelta <> 's') and (scelta <> 'S');

  writeln('Programma terminato.');
end.
        

Linguaggio Python

print("QUESITO: Probabilità che Paolo vinca all'ennesimo lancio")
print("se ad iniziare è stato Giovanni.")
print("-" * 50)

while True:
    n = int(input("Inserisci il numero del lancio (n > 0): "))
    if n > 0:
        break
    print("ERRORE: devi inserire un intero positivo.")

while True:

    if n % 2 != 0:
        print(f"RISPOSTA: La probabilità è 0.0 perché al lancio {n} tira Giovanni.")
    elif n >= 16:
        print("RISPOSTA: La probabilità è praticamente zero per n >= 16.")
    else:
        prob = (0.20**(n//2)) * (0.25**(n//2 - 1)) * 0.75
        print(f"RISPOSTA: La probabilità che Paolo vinca al lancio {n} è: {prob:.10f}")

    scelta = input("\nVuoi eseguire di nuovo il programma? (s/n): ")

    if scelta.lower() != 's':
        break
    else:
        while True:
            n = int(input("\nInserisci il numero del lancio (n > 0): "))
            if n > 0:
                break
            print("ERRORE: devi inserire un intero positivo.")

print("Programma terminato.")