Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

a) Studio di \(f(x) = 3\sin^2 x - 2\sin^3 x\) su \([0,\, 2\pi]\)

Fattorizzazione e segno

Raccogliamo \(\sin^2 x\):

Poiché \(\sin^2 x \geq 0\) sempre e \(3 - 2\sin x \geq 1 > 0\) per ogni \(x\) (il massimo di \(\sin x\) è 1), la funzione è sempre non negativa su \([0, 2\pi]\). Gli zeri si hanno solo dove \(\sin x = 0\): \(x = 0,\, \pi,\, 2\pi\).

Derivata prima e punti critici

Poniamo \(f'(x) = 0\) su \([0, 2\pi]\). Il prodotto si annulla quando almeno uno dei fattori è zero:

• \(\sin x = 0\): \(x = 0,\, \pi,\, 2\pi\);
• \(\cos x = 0\): \(x = \tfrac{\pi}{2},\, \tfrac{3\pi}{2}\);
• \(\sin x = 1\): \(x = \tfrac{\pi}{2}\) (già incluso nel caso precedente).

I punti critici distinti sono quindi: \(x = 0,\, \tfrac{\pi}{2},\, \pi,\, \tfrac{3\pi}{2},\, 2\pi\).

Studio del segno di \(f'(x) = 6\sin x \cos x (1 - \sin x)\)

Analizziamo il segno di ciascun fattore nei quattro intervalli aperti in cui si suddivide \([0, 2\pi]\):

• \(1 - \sin x \geq 0\) sempre su \([0, 2\pi]\), poiché \(\sin x \leq 1\). Questo fattore non cambia mai segno e si annulla solo in \(x = \tfrac{\pi}{2}\).
• Il segno di \(f'(x)\) dipende quindi dal segno di \(\sin x \cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x\).

Valori della funzione nei punti critici interni:

• \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 1\) → massimo relativo;
• \(f(\pi) = 3(0)^2 - 2(0)^3 = 0\) → minimo relativo (e zero della funzione);
• \(f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = 3(-1)^2 - 2(-1)^3 = 3 + 2 = 5\) → massimo assoluto.

Derivata seconda e flessi

Deriviamo:

Applicando la regola del prodotto:

Usando \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

Raccogliendo \((1-\sin x)\):

Poniamo \(t = \sin x\): \(3t^2 + t - 1 = 0\), con soluzioni \(t_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}\). Ciascun valore dà due soluzioni in \([0, 2\pi]\), per un totale di 4 punti di flesso.

Grafico di \(f(x) = 3\sin^2 x - 2\sin^3 x\) su \([0,\, 2\pi]\).

b) Grafico qualitativo di \(f'(x)\)

Per dedurre il grafico di \(f'\) da quello di \(f\) si usano i seguenti principi:

• dove \(f\) è crescente → \(f'(x) > 0\);
• dove \(f\) è decrescente → \(f'(x) < 0\);
• nei punti di massimo o minimo di \(f\) → \(f'(x) = 0\);
• nei punti di flesso di \(f\) → \(f'\) ha un massimo o minimo locale.

Ne segue che \(f'\) si annulla in \(x = 0,\, \tfrac{\pi}{2},\, \pi,\, \tfrac{3\pi}{2},\, 2\pi\), è positiva su \((0, \tfrac{\pi}{2})\) e \((\pi, \tfrac{3\pi}{2})\), negativa su \((\tfrac{\pi}{2}, \pi)\) e \((\tfrac{3\pi}{2}, 2\pi)\).

Il massimo assoluto di \(f\) in \(x = \tfrac{3\pi}{2}\) è molto più alto di quello in \(x = \tfrac{\pi}{2}\), quindi il picco positivo di \(f'\) su \((\pi, \tfrac{3\pi}{2})\) è molto più pronunciato di quello su \((0, \tfrac{\pi}{2})\).

Grafico qualitativo di \(f'(x)\): zeri in \(0,\, \tfrac{\pi}{2},\, \pi,\, \tfrac{3\pi}{2},\, 2\pi\).

c) Teorema di Rolle sull'intervallo \(\left[\dfrac{\pi}{2},\, a\right]\)

Il Teorema di Rolle richiede che \(f\) sia continua su \([\tfrac{\pi}{2}, a]\), derivabile su \((\tfrac{\pi}{2}, a)\) e che \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = f(a)\). Le prime due condizioni sono soddisfatte (polinomio in \(\sin x\)).

Poiché \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 1\), dobbiamo trovare il più piccolo \(a > \tfrac{\pi}{2}\) tale che \(f(a) = 1\).

Risoluzione di \(f(x) = 1\)

Poniamo \(t = \sin x\). Il polinomio \(2t^3 - 3t^2 + 1\) ha radice \(t = 1\). Dividendo:

Le soluzioni sono \(t = 1\) (doppia) e \(t = -\tfrac{1}{2}\).

• \(\sin x = 1 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2}\) (punto di partenza, escluso);
• \(\sin x = -\tfrac{1}{2} \Rightarrow x = \tfrac{7\pi}{6}\) oppure \(x = \tfrac{11\pi}{6}\) su \([0, 2\pi]\).

Il più piccolo \(a > \tfrac{\pi}{2}\) è:

Verifica

Su \(\left[\tfrac{\pi}{2},\, \tfrac{7\pi}{6}\right]\) si ha \(f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = f\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) = 1\), quindi il Teorema di Rolle garantisce l'esistenza di \(c \in \left(\tfrac{\pi}{2},\, \tfrac{7\pi}{6}\right)\) con \(f'(c) = 0\). Effettivamente \(c = \pi\) soddisfa questa condizione. ✓

d) Area della regione \(\mathcal{R}\)

Regione \(\mathcal{R}\).

Poiché \(f(x) \geq 0\) su tutto \([0, 2\pi]\), l'area è:

Calcolo di \(\displaystyle\int_0^{2\pi} 3\sin^2 x\, dx\)

Calcolo di \(\displaystyle\int_0^{2\pi} 2\sin^3 x\, dx\)

Scriviamo \(\sin^3 x = \sin x(1 - \cos^2 x)\):

Risultato

Soluzione Esercizio 2

a) Studio di \(f(x) = \dfrac{x^3 - x^2 - x}{x^2 - 1}\)

Dominio

Il denominatore si annulla per \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\). Dominio: \(\mathbb{R} \setminus \{-1,\, 1\}\).

Divisione polinomiale e forma ridotta

Per dividere \(x^3 - x^2 - x\) per \(x^2 - 1\), eseguiamo lo schema della divisione tra polinomi:

  x³ - x² - x         | x² - 1
-(x³      - x)        |-------
--------------        | x - 1 (Quoziente)
     - x² + 0         |
   -(- x² + 1)        |
   -----------        |
          - 1         | (Resto)

Otteniamo quindi Quoziente \(Q(x) = x - 1\) e Resto \(R = -1\). La funzione può essere scritta come:

Asintoti

• Verticali: \(x = 1\) e \(x = -1\).
• Obliquo:
  Nota teorica: Se una funzione \(y = f(x)\) può essere espressa nella forma \(f(x) = mx + q + g(x)\), dove \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 0\), allora la retta di equazione \(y = mx + q\) è un asintoto obliquo per la funzione.
  Nel nostro caso, poiché \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 1} = 0\), l'asintoto è: \[ \boxed{y = x - 1} \]

Derivata prima e punti stazionari

Utilizzando la forma ridotta \(f(x) = x - 1 - (x^2-1)^{-1}\), calcoliamo la derivata prima:

Per trovare i punti stazionari, dobbiamo risolvere l'equazione \(f'(x) = 0\), che equivale a trovare gli zeri del numeratore. Il segno della derivata dipenderà esclusivamente dal segno di questo numeratore, poiché il denominatore, dove la funzione è definita, è sempre positivo. Risolviamo quindi:

Questa equazione di quarto grado non è elementare da risolvere algebricamente. Possiamo però analizzare il segno della disequazione \( (x^2 - 1)^2 \geq -2x \) per via grafica. Poniamo:

• \( a(x) = (x^2 - 1)^2 \) (funzione quartica, simile a una parabola con due minimi in \(\pm 1\))
• \( b(x) = -2x \) (retta passante per l'origine con pendenza negativa)

Uno studio sommario e il confronto delle due funzioni ci porta al seguente grafico:

Confronto grafico tra \(a(x)=(x^2-1)^2\) (curva rossa) e \(b(x)=-2x\) (linea blu)

Dal grafico si evince che la condizione \(a(x) \geq b(x)\) è verificata per \(x \leq x_1\) e per \(x \geq x_2\). Questo ci permette di stabilire il segno della derivata prima \(f'(x)\) e, di conseguenza, la monotonia della funzione \(f(x)\):

In conclusione, la funzione ammette un massimo relativo in \(x = x_1\) (con \( -2 < x_1 < -1 \)) e un minimo relativo in \(x = x_2\) (con \( -1 < x_2 < 0 \)). \(\square\)

Derivata seconda e concavità

Partendo da \(f'(x) = 1 + 2x(x^2-1)^{-2}\), calcoliamo \(f''(x)\):

Studio del segno di \(f''(x)\):

• Il numeratore \(N = -2(3x^2 + 1)\) è sempre negativo per ogni \(x\).
• Il segno della funzione dipende quindi dal denominatore \((x^2-1)^3\), che ha lo stesso segno di \(x^2-1\).

Analizzando il segno:

• Per \(x < -1 \lor x > 1\): \(f''(x) < 0\) → Concavità verso il basso (concava).
• Per \(-1 < x < 1\): \(f''(x) > 0\) → Concavità verso l'alto (convessa).

Non ci sono punti di flesso poiché il numeratore non si annulla mai.

Grafico di \(f(x)\): asintoti verticali \(x = \pm 1\) e obliquo \(y = x - 1\).

b) Tangente in \(O\) parallela all'asintoto obliquo

La pendenza dell'asintoto obliquo \(y = x - 1\) è \(m = 1\).

Calcoliamo \(f'(0)\):

La tangente al grafico in \(O = (0,0)\) ha pendenza \(f'(0) = 1\), uguale a quella dell'asintoto. Essendo rette distinte (\(y=x\) contro \(y=x-1\)), sono parallele e distinte. \(\square\)

c) Circonferenza tangente

La tangente in \(O\) è \(y = x\). Il centro \(C\) giace sulla perpendicolare \(y = -x\). Poniamo \(C = (a,\, -a)\).

Raggio (distanza \(CO\)): \(r = \sqrt{a^2 + (-a)^2} = |a|\sqrt{2}\).

Tangenza all'asintoto \(x - y - 1 = 0\):

Risolvendo: \(2a - 1 = -2a \Rightarrow 4a = 1 \Rightarrow a = 1/4\).
Centro \(C(1/4, -1/4)\) e raggio \(r = \sqrt{2}/4\).

d) Area della regione interna al triangolo ed esterna alla circonferenza

La regione richiesta è composta dai due triangoli mistilinei IFE e JDE, interni al trapezio IJFD.

La regione richiesta è la parte di piano interna al triangolo \(ODF\) ed esterna alla circonferenza. Tale area è composta dai due triangoli mistilinei \(IFE\) e \(JDE\), simmetrici rispetto alla bisettrice \(y = -x\).

Per calcolare quest'area, operiamo nel seguente modo:

1. Calcoliamo l'area del trapezio \(IFDJ\). Esso si ottiene sottraendo dal triangolo \(ODF\) il triangolo rettangolo \(OIJ\): \[ \mathcal{A}_{IFDJ} = \mathcal{A}_{ODF} - \mathcal{A}_{OIJ} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]
2. Sottraiamo dal trapezio l'area del semicerchio di diametro \(JI\) (che contiene il punto di tangenza \(E\)): \[ \mathcal{A}_{semi} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{\pi}{16} \]

L'area della regione formata dai due triangoli mistilinei è quindi:

e) Grafico qualitativo di \(y = \ln f(x)\)

La funzione \(y = \ln f(x)\) è definita esclusivamente negli intervalli in cui \(f(x) > 0\), ovvero in:

\((-1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \quad \text{e} \quad (\frac{1+\sqrt{5}}{2}, +\infty)\)

• Asintoti verticali: Dove \(f(x) \to 0^+\) (ovvero in corrispondenza degli zeri di \(f\)), la funzione logaritmo tende a \(-\infty\). Dove \(f(x) \to +\infty\) (in corrispondenza degli asintoti verticali di \(f\)), anche \(\ln f(x)\) tende a \(+\infty\).
• Monotonia: Poiché il logaritmo naturale è una funzione strettamente crescente, la monotonia di \(\ln f(x)\) segue fedelmente quella di \(f(x)\).

In tratteggio blu il grafico di \(f\), in rosso il grafico di \(\ln f\).

Soluzione Esercizio 3

Determinazione dell'equazione della parabola

La parabola ha asse parallelo all'asse \(y\) e vertice \(V(1, 1)\). Utilizziamo l'equazione in forma vertice:

Imponendo il passaggio per il punto \(A(0, 2)\):

L'equazione della parabola è dunque:

a) Punto Q di minima area

Il punto \(B\) ha ascissa \(3\), quindi la sua ordinata è \(f(3) = 3^2 - 2(3) + 2 = 5\). Abbiamo i punti \(A(0, 2)\) e \(B(3, 5)\).
Sia \(Q(x, y)\) un generico punto sull'arco \(AB\), con \(0 \leq x \leq 3\) e \(y = x^2 - 2x + 2\).

Rappresentazione dei due trapezi rettangoli sotto i segmenti AQ e QB. L'area totale è minima quando Q ha ascissa \(x=3/2\).

I due trapezi rettangoli hanno come basi le ordinate dei punti e come altezze le differenze tra le ascisse:

• Trapezio sotto AQ: basi \(y_A=2\) e \(y_Q=y\), altezza \(x\). Area \(S_1 = \frac{2+y}{2} \cdot x\).
• Trapezio sotto QB: basi \(y_Q=y\) e \(y_B=5\), altezza \(3-x\). Area \(S_2 = \frac{y+5}{2} \cdot (3-x)\).

La funzione da minimizzare è la somma delle aree \(S(x) = S_1 + S_2\):

Troviamo il minimo derivando: \(S'(x) = \frac{3}{2}(2x - 3)\).
\(S'(x) = 0\) per \(x = 3/2\). Poiché \(S''(x) = 3 > 0\), si tratta di un minimo.

L'ordinata è \(y = f(3/2) = 5/4\).
Il punto cercato è \(Q(3/2, 5/4)\).

b) Punto L di area massima (Teorema di Lagrange)

L'area del triangolo ALB è massima quando la retta tangente t in L è parallela alla corda AB.

L'area del triangolo \(ALB\) è massima quando l'altezza relativa alla base \(AB\) è massima. Geometricamente, ciò accade nel punto \(L\) dell'arco \(AB\) in cui la retta tangente alla parabola è parallela alla corda \(AB\).

Il coefficiente angolare della corda \(AB\) (retta secante) è:

Per il Teorema di Lagrange, applicato alla funzione \(f(x) = x^2 - 2x + 2\) nell'intervallo \([0, 3]\), esiste un punto \(L(c, f(c))\), con \(0 < c < 3\), tale che la derivata prima in \(c\) sia uguale al coefficiente angolare della secante:

L'ordinata del punto \(L\) è:

Il punto cercato è \(L(3/2, 5/4)\).

È interessante notare che, per questa specifica parabola, il punto \(L\) di massima area del triangolo coincide con il punto \(Q\) di minima area dei trapezi rettangoli trovato nel punto a).

Soluzione Esercizio 4

Definizioni Preliminari

Siano \(P\) l'evento "Paolo fa centro" e \(G\) l'evento "Giovanni fa centro":

• \(p(P) = 0.75 = \frac{3}{4}\)   \(\implies\)   probabilità di errore: \(p(\bar{P}) = 0.25 = \frac{1}{4}\)
• \(p(G) = 0.80 = \frac{4}{5}\)   \(\implies\)   probabilità di errore: \(p(\bar{G}) = 0.20 = \frac{1}{5}\)

La moneta stabilisce chi inizia con probabilità \(\frac{1}{2}\).

a) Probabilità che Giovanni vinca al quinto tiro

Affinché Giovanni vinca al quinto tiro, i primi 4 tiri devono essere tutti falliti e il quinto deve essere un centro di Giovanni. L’ordine dei tiratori dipende da chi inizia:

• Caso 1: Inizia Paolo. L’ordine è P, G, P, G, P.
  Al quinto tiro tira Paolo, quindi Giovanni non può vincere in questo caso.
  Probabilità: \(0\).
• Caso 2: Inizia Giovanni. L’ordine è G, P, G, P, G.
  Giovanni vince al quinto tiro se:
  • Giovanni sbaglia i suoi primi 2 tiri: \( \left(\frac{1}{5}\right)^2 \)
  • Paolo sbaglia i suoi primi 2 tiri: \( \left(\frac{1}{4}\right)^2 \)
  • Giovanni centra al quinto tiro: \( \frac{4}{5} \)
  Probabilità: \[ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2000} = \frac{1}{1000} \]

Sommando i due casi: \[ P(\text{Giovanni vince al 5° tiro}) = \frac{1}{1000} = 0{,}001 = \mathbf{0{,}1\%} \]

b) Probabilità che Paolo vinca entro il quarto tiro

Paolo vince "entro il quarto tiro" se fa centro al 1°, 2°, 3° o 4° lancio totale della gara. Dobbiamo distinguere i due scenari iniziali determinati dalla moneta:

• Scenario 1: Inizia Paolo (Probabilità 1/2)

  In questo caso, Paolo tira al 1° e al 3° lancio. Vince se:

  • Vince al 1° tiro: Paolo fa centro subito.
    \(P(P_1) = \frac{3}{4} = 0.75\)
  • Vince al 3° tiro: Paolo sbaglia il 1°, Giovanni sbaglia il 2°, Paolo fa centro al 3°.
    \(P(\bar{P}_1 \cap \bar{G}_2 \cap P_3) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{80} = 0.0375\)

  Probabilità parziale Scenario 1: \(\frac{1}{2} \cdot (0.75 + 0.0375) = \frac{1}{2} \cdot 0.7875 = \mathbf{0.39375}\)

• Scenario 2: Inizia Giovanni (Probabilità 1/2)

  In questo caso, Paolo tira al 2° e al 4° lancio. Vince se:

  • Vince al 2° tiro: Giovanni sbaglia il 1°, Paolo fa centro al 2°.
    \(P(\bar{G}_1 \cap P_2) = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{20} = 0.15\)
  • Vince al 4° tiro: G sbaglia il 1°, P sbaglia il 2°, G sbaglia il 3°, P fa centro al 4°.
    \(P(\bar{G}_1 \cap \bar{P}_2 \cap \bar{G}_3 \cap P_4) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{400} = 0.0075\)

  Probabilità parziale Scenario 2: \(\frac{1}{2} \cdot (0.15 + 0.0075) = \frac{1}{2} \cdot 0.1575 = \mathbf{0.07875}\)

Probabilità Totale:

Sommiamo i risultati dei due scenari:

La probabilità che Paolo vinca entro il quarto tiro è del \(\mathbf{47.25\%}\).

c) Probabilità che abbia iniziato Paolo sapendo che il primo centro avviene al 15° tiro

Indichiamo con:

• \(C\): evento “il primo centro avviene esattamente al 15° tiro”
• \(P\): evento “Paolo ha iniziato la gara”
• \(G\): evento “Giovanni ha iniziato la gara”

Poiché il 15° tiro è dispari, a tirare sarà il giocatore che ha iniziato la gara:

• se inizia Paolo → al 15° tiro tira Paolo
• se inizia Giovanni → al 15° tiro tira Giovanni

1. Probabilità che inizi Paolo e che il primo centro avvenga al 15° tiro

Affinché il primo centro avvenga al 15° tiro devono verificarsi:

• 7 errori di Paolo
• 7 errori di Giovanni
• centro finale di Paolo al 15° tiro

Inoltre Paolo deve essere stato scelto inizialmente dalla moneta (\(\frac12\)).

Semplificando:

2. Probabilità che inizi Giovanni e che il primo centro avvenga al 15° tiro

In questo caso:

• Giovanni viene scelto dalla moneta (\(\frac12\))
• nei primi 14 tiri entrambi sbagliano 7 volte
• al 15° tiro Giovanni fa centro

Semplificando:

3. Probabilità totale che il primo centro avvenga al 15° tiro

L’evento \(C\) può verificarsi solo nei due casi precedenti, quindi:

Raccogliendo il termine comune:

4. Probabilità richiesta

Utilizziamo ora la formula della probabilità condizionata:

Nel nostro caso vogliamo calcolare la probabilità che abbia iniziato Paolo sapendo che il primo centro avviene al 15° tiro:

Vogliamo calcolare la probabilità che abbia iniziato Paolo sapendo che il primo centro avviene al 15° tiro:

Sostituendo i valori trovati:

Il termine \(\left(\frac1{20}\right)^7\) compare sia al numeratore sia al denominatore e quindi si semplifica:

Descrizione dell'algoritmo (Linguaggio Naturale)

Vogliamo calcolare la probabilità che Paolo vinca esattamente al lancio \(n\), sapendo che la gara è iniziata da Giovanni.

Poiché i due giocatori tirano alternandosi, la successione dei tiri è:

Di conseguenza:

• Giovanni tira nei lanci dispari
• Paolo tira nei lanci pari

1. Verifica del turno

Per prima cosa l’algoritmo deve controllare se il lancio \(n\) appartiene a Paolo oppure a Giovanni.

Dal momento che Paolo tira solo nei lanci pari:

• se \(n\) è dispari → Paolo non può vincere al lancio \(n\), quindi la probabilità è \(0\)
• se \(n\) è pari → Paolo effettua il tiro numero \(n\), quindi la probabilità può essere diversa da zero

2. Analisi dei tiri precedenti

Affinché Paolo vinca esattamente al lancio \(n\), è necessario che nei precedenti \(n-1\) tiri nessuno abbia ancora fatto centro.

Poiché \(n\) è pari:

• Giovanni ha già tirato \(n/2\) volte
• Paolo ha già tirato \((n/2)-1\) volte

Tutti questi tiri devono essere errori.

Quindi:

• Giovanni deve sbagliare tutti i suoi \(n/2\) tiri
• Paolo deve sbagliare i suoi primi \((n/2)-1\) tiri

3. Tiro decisivo

Dopo la sequenza di errori precedenti, Paolo effettua il lancio \(n\).

Per vincere esattamente in quel momento, deve fare centro proprio in quell’ultimo tiro.

La probabilità di questo evento è:

4. Probabilità finale

La probabilità complessiva si ottiene moltiplicando tutti gli eventi necessari:

• probabilità che Giovanni sbagli tutti i suoi tiri: \[ \left(\frac15\right)^{n/2} \]
• probabilità che Paolo sbagli i suoi tiri precedenti: \[ \left(\frac14\right)^{(n/2)-1} \]
• probabilità che Paolo faccia centro al tiro \(n\): \[ \frac34 \]

Quindi, per \(n\) pari:

mentre per \(n\) dispari:

Codifica nei linguaggi di programmazione

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    char scelta;

    do {
        cout << "QUESITO: Calcolare la probabilita' che Paolo vinca all'ennesimo lancio" << endl;
        cout << "sapendo che ad iniziare e' stato Giovanni." << endl;
        cout << "------------------------------------------------------------" << endl;

        do {
            cout << "Inserisci il numero del lancio (n > 0): ";
            cin >> n;

            if (cin.fail()) {
                cin.clear();
                cin.ignore(10000, '\n');
                n = -1;
            }

            if (n <= 0) {
                cout << "ERRORE: devi inserire un intero positivo." << endl;
            }

        } while (n <= 0);

        cout << fixed << setprecision(10);

        if (n >= 16) {
            cout << "\nRISPOSTA: La probabilita' e' praticamente zero per n maggiore o uguale a 16 (0.0000000000 fino alla decima cifra decimale)." << endl;
        }
        else if (n % 2 != 0) {
            cout << "\nRISPOSTA: La probabilita' e' 0.0 perche' al lancio "
                 << n << " tira Giovanni." << endl;
        } 
        else {
            double pP = 0.75, pG = 0.80;
            double prob = pow(1 - pG, n / 2) * pow(1 - pP, (n / 2) - 1) * pP;

            cout << "\nRISPOSTA: La probabilita' che Paolo vinca al lancio "
                 << n << " e': " << prob << endl;
        }

        cout << "\nVuoi eseguire di nuovo il programma? (s/n): ";
        cin >> scelta;

    } while (scelta == 's' || scelta == 'S');

    cout << "Programma terminato." << endl;

    return 0;
}
    

program ProbabilitaPaolo;
uses math;

var
  n: integer;
  prob: real;
  scelta: char;

begin
  repeat
    writeln('QUESITO: Probabilita'' che Paolo vinca all''ennesimo lancio');
    writeln('se ad iniziare e'' stato Giovanni.');
    writeln('------------------------------------------------------------');

    { VALIDAZIONE INPUT }
   repeat
  write('Inserisci il numero del lancio (n > 0): ');
  readln(n);

  if (n <=0) then
    writeln('ERRORE: devi inserire un intero positivo.');
until (n > 0);

    { CALCOLO }
    if (n mod 2 <> 0) then
      writeln(#10, 'RISPOSTA: La probabilita'' e'' 0.0 (al lancio ', n, ' tira Giovanni)')
    else if (n >= 16) then
      writeln(#10, 'RISPOSTA: La probabilita'' e'' praticamente zero (0.0000000000 fino alla decima cifra decimale) per n >= 16')
    else
    begin
      prob := power(0.20, n div 2) * power(0.25, (n div 2) - 1) * 0.75;
      writeln(#10, 'RISPOSTA: La probabilita'' che Paolo vinca al lancio ', n, ' e'': ', prob:0:10);
    end;

    { RIESCUZIONE }
    writeln;
    write('Vuoi eseguire di nuovo il programma? (s/n): ');
    readln(scelta);

  until (scelta <> 's') and (scelta <> 'S');

  writeln('Programma terminato.');
end.
    

print("QUESITO: Probabilità che Paolo vinca all'ennesimo lancio")
print("se ad iniziare è stato Giovanni.")
print("-" * 50)

while True:
    n = int(input("Inserisci il numero del lancio (n > 0): "))
    if n > 0:
        break
    print("ERRORE: devi inserire un intero positivo.")

while True:

    if n % 2 != 0:
        print(f"RISPOSTA: La probabilità è 0.0 perché al lancio {n} tira Giovanni.")
    elif n >= 16:
        print("RISPOSTA: La probabilità è praticamente zero (0.0000000000 fino alla decima cifra decimale) per n >= 16.")
    else:
        prob = (0.20**(n//2)) * (0.25**(n//2 - 1)) * 0.75
        print(f"RISPOSTA: La probabilità che Paolo vinca al lancio {n} è: {prob:.10f}")

    scelta = input("\nVuoi eseguire di nuovo il programma? (s/n): ")

    if scelta.lower() != 's':
        break
    else:
        while True:
            n = int(input("\nInserisci il numero del lancio (n > 0): "))
            if n > 0:
                break
            print("ERRORE: devi inserire un intero positivo.")

print("Programma terminato.")