www.matefilia.it
dal 2001
Variabili Aleatorie Discrete - Riconosci il Modello
(Versione DSA)
📚 Disponibile anche in versione Standard
Ogni domanda ha due parti: nella Parte 1 individua quale distribuzione si applica al problema (e con quali parametri); nella Parte 2 calcola la probabilità richiesta in quello stesso scenario. Usa il bottone 🔊 Ascolta se preferisci farti leggere il testo (legge lo scenario e le due domande, non le opzioni). Rispondi a entrambe le parti, poi premi "Spiegazione" per controllare la soluzione guidata. Se vuoi un suggerimento premi il bottone "Aiuto".
In fondo alla pagina premi "Verifica le risposte" per vedere l'esito del test e premi "Ricomincia il test" per rifare il test.
🔄 Vuoi cambiare modalità? Torna alla scelta del test
Domanda 1
Un tiratore ha probabilità \( 0{,}3 \) di colpire il bersaglio ad ogni tiro, indipendentemente dai tiri precedenti. Spara 8 volte. Sia \( X \) il numero di tiri a segno.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio esattamente 5 volte su 8 tiri?
Le condizioni della distribuzione binomiale sono tutte soddisfatte: un numero fissato di prove (\( n=8 \) tiri), indipendenti tra loro, ciascuna con solo due esiti possibili e la stessa probabilità di successo ad ogni prova. \[ n=8, \qquad p=0{,}3 \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Poisson con \( \lambda=0{,}3 \): la Poisson si usa per eventi rari in un intervallo continuo di cui si conosce il numero medio di occorrenze — qui invece abbiamo un numero fissato e discreto di prove ripetute: è il caso classico della binomiale.
• Geometrica con \( p=0{,}3 \): la geometrica descriverebbe il numero di tiri necessari per ottenere il primo colpo a segno, non il numero di colpi a segno su un numero fissato di tiri.
• Binomiale con \( n=8 \), \( p=0{,}7 \): modello corretto ma parametro sbagliato — è l'errore di usare la probabilità di "mancare" al posto di quella di "colpire" (che è invece l'evento che stiamo contando).
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=5) = \binom{8}{5}(0{,}3)^5(0{,}7)^3 = 56\cdot0{,}00243\cdot0{,}343 \approx 0{,}0467 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 0{,}08\% \): manca il coefficiente binomiale \( \binom{8}{5}=56 \).
• \( \approx 25{,}4\% \): \( p \) e \( q \) scambiati, come se il successo fosse "mancare" invece di "colpire".
• \( \approx 6{,}02\% \): approssimazione di Poisson non giustificata (\( n \) non è grande, \( p \) non è piccolo).
Domanda 2
A un centralino telefonico arrivano in media 5 chiamate ogni 10 minuti, secondo un processo di Poisson. Sia \( X \) il numero di chiamate che arrivano in un intervallo di 10 minuti scelto a caso.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità che, in un intervallo di 10 minuti, arrivino esattamente 3 chiamate?
\( X \) è Poisson perché conta il numero di eventi (chiamate) che si verificano in un intervallo fissato, con eventi indipendenti e un tasso medio costante; il parametro è direttamente la media data: \[ \lambda = 5 \text{ chiamate ogni 10 minuti} \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Binomiale con \( n=10 \), \( p=0{,}5 \): mancano sia un numero fissato di prove indipendenti sia un evento con due soli esiti e probabilità di successo costante — qui c'è un flusso continuo di arrivi, non 10 "tentativi".
• Poisson con \( \lambda=0{,}5 \): parametro sbagliato — non va diviso, l'intervallo richiesto (10 minuti) coincide esattamente con quello del dato.
• Geometrica con \( p=0{,}5 \): la geometrica misurerebbe il numero di intervalli fino alla prima chiamata, non il conteggio delle chiamate in un intervallo fissato.
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=3) = \frac{5^3 e^{-5}}{3!} = \frac{125\cdot e^{-5}}{6} \approx 0{,}1404 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 84{,}22\% \): manca il fattoriale \( 3!=6 \) al denominatore.
• \( \approx 26{,}50\% \): è \( P(X\le3) \) (somma cumulativa da 0 a 3), non \( P(X=3) \).
• \( \approx 0{,}76\% \): usato \( \lambda=10 \) al posto di \( \lambda=5 \).
Domanda 3
Si lancia ripetutamente un dado regolare a sei facce, fino a quando non esce il numero 6 per la prima volta. Sia \( X \) il numero di lanci necessari.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità che servano esattamente 4 lanci per ottenere il primo 6?
\( X \) conta il numero di prove indipendenti necessarie per ottenere il primo successo (uscita del 6), con probabilità di successo costante ad ogni lancio: è la definizione della distribuzione geometrica. \[ p=\frac16 \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Binomiale con \( n=6 \), \( p=\dfrac16 \): la binomiale conterebbe il numero di successi in un numero FISSATO di lanci, non il numero di lanci fino al primo successo.
• Geometrica con \( p=\dfrac56 \): errore di parametro — \( p \) deve essere la probabilità di "successo" (uscita del 6, \( \frac16 \)), non quella di insuccesso (\( \frac56 \)).
• Poisson con \( \lambda=\dfrac16 \): non c'è un intervallo continuo, ma un conteggio di prove ripetute fino a un evento specifico.
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=4) = \left(\frac56\right)^3\cdot\frac16 = \frac{125}{216}\cdot\frac16 = \frac{125}{1296} \approx 0{,}0965 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 8{,}04\% \): usato \( \left(\frac56\right)^4\cdot\frac16 \), cioè un fallimento di troppo (come se il 6 arrivasse al 5° lancio).
• \( \approx 16{,}67\% \): è semplicemente \( p=\frac16 \), dimenticando del tutto il fattore che tiene conto dei 3 lanci precedenti "falliti".
• \( \approx 48{,}23\% \): è \( \left(\frac56\right)^4 \), cioè la probabilità di NON ottenere il 6 nei primi 4 lanci — risponde a una domanda diversa.
Domanda 4
Un'urna contiene 20 palline, di cui 8 rosse e 12 blu. Si estraggono 5 palline SENZA reimmissione. Sia \( X \) il numero di palline rosse estratte.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità di estrarre esattamente 2 palline rosse (su 5 estratte)?
Senza reimmissione, le estrazioni NON sono indipendenti: è il caso classico della distribuzione ipergeometrica, con: \[ N=20 \text{ (popolazione totale)}, \quad K=8 \text{ (rosse nell'urna)}, \quad n=5 \text{ (estrazioni)} \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Binomiale (entrambe le opzioni b e d): richiederebbe indipendenza tra le estrazioni, garantita solo estraendo CON reimmissione.
• Ipergeometrica con \( N=20 \), \( K=5 \), \( n=8 \): parametri scambiati — \( K \) deve essere il numero di "successi" nella popolazione (8 rosse), non il numero di estrazioni, e \( n \) deve essere il numero di estrazioni (5), non il numero di successi nella popolazione.
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=2) = \frac{\binom{8}{2}\binom{12}{3}}{\binom{20}{5}} = \frac{28\cdot220}{15\,504} = \frac{6160}{15\,504} \approx 0{,}3974 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 34{,}56\% \): calcolato usando erroneamente la formula binomiale (con \( p=0{,}4 \)) invece dell'ipergeometrica.
• \( \approx 23{,}85\% \): ruoli di rosse e blu scambiati nella formula, cioè \( \dfrac{\binom{12}{2}\binom{8}{3}}{\binom{20}{5}} \).
• \( \approx 0{,}18\% \): calcolato solo \( \dfrac{\binom{8}{2}}{\binom{20}{5}} \), dimenticando del tutto il termine \( \binom{12}{3} \) relativo alle palline blu.
Domanda 5
Stessa urna del quesito precedente (20 palline, 8 rosse e 12 blu), ma questa volta si estraggono 5 palline CON reimmissione (si rimette ogni volta la pallina estratta prima dell'estrazione successiva). Sia \( X \) il numero di palline rosse estratte.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità di estrarre esattamente 2 palline rosse (su 5 estrazioni)?
Con la reimmissione, la composizione dell'urna torna sempre la stessa prima di ogni estrazione: le 5 estrazioni sono ora indipendenti tra loro, ciascuna con la stessa probabilità di successo costante: \( X \) è quindi binomiale, con: \[ n=5, \qquad p=\frac{8}{20}=\frac25 \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Ipergeometrica con \( N=20 \), \( K=8 \), \( n=5 \): era il modello corretto nel quesito precedente proprio perché non c'era indipendenza — qui invece c'è, quindi binomiale è il modello giusto.
• Binomiale con \( n=20 \), \( p=\dfrac58 \): parametri sbagliati/invertiti.
• Geometrica con \( p=\dfrac{8}{20} \): misurerebbe il numero di estrazioni fino alla prima pallina rossa, non il numero di palline rosse su 5 estrazioni fissate.
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=2) = \binom{5}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^3 = 10\cdot0{,}16\cdot0{,}216 \approx 0{,}3456 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 39{,}74\% \): è il risultato ipergeometrico del quesito precedente — corretto lì, ma sbagliato qui, dove il modello giusto è la binomiale (confondere i due calcoli è l'errore più comune tra questi due quesiti gemelli).
• \( \approx 23{,}04\% \): \( p \) e \( q \) scambiati nella formula.
• \( \approx 3{,}46\% \): manca il coefficiente binomiale \( \binom{5}{2}=10 \).
Domanda 6
Un venditore telefonico effettua chiamate una dopo l'altra. La probabilità di concludere una vendita alla prima chiamata è \( 0{,}10 \); grazie all'esperienza accumulata durante la telefonata precedente, la probabilità di successo aumenta di \( 0{,}05 \) ad ogni chiamata successiva (quindi \( 0{,}10 \) alla 1ª, \( 0{,}15 \) alla 2ª, \( 0{,}20 \) alla 3ª, e così via). Effettua 10 chiamate in tutto. Sia \( X \) il numero di vendite concluse.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è, con precisione, l'ipotesi che viene a mancare in questo scenario, rendendo inapplicabili tutti e quattro i modelli studiati?
Tutti e quattro i modelli studiati (binomiale, Poisson, geometrica, ipergeometrica) presuppongono che la probabilità di "successo" resti costante da una prova all'altra. Qui invece \( p \) cambia ad ogni chiamata (\( 0{,}10 \), poi \( 0{,}15 \), poi \( 0{,}20 \)...): nessuno dei quattro modelli si applica.
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Binomiale con \( n=10 \), \( p=0{,}10 \): userebbe solo la probabilità della prima chiamata, ignorando che cresce nelle successive — un errore di applicare la formula senza controllarne le ipotesi.
• Poisson con \( \lambda=1 \): non si applica, non essendoci un intervallo continuo né una probabilità di successo costante.
• Geometrica con \( p=0{,}10 \): oltre a non esserci l'ipotesi di \( p \) costante, qui il numero di chiamate è comunque fissato (10), non "fino al primo successo".
L'ipotesi violata (Parte 2):
L'ipotesi che viene a mancare è proprio la costanza della probabilità di successo tra una prova e l'altra: è un'ipotesi comune a binomiale, Poisson e geometrica (l'ipergeometrica, pur avendo \( p \) implicitamente variabile per l'assenza di reimmissione, lo fa in un modo molto specifico e prevedibile, non a piacere come in questo scenario).
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• Le 10 chiamate non sono indipendenti: non è detto — l'esito di una chiamata non condiziona necessariamente quello delle altre, cambia solo la probabilità "di partenza" (per un fattore esterno, l'esperienza), non la dipendenza statistica tra gli esiti.
• Il numero di chiamate non è fissato: falso, è dato esplicitamente (10).
• Le chiamate non hanno solo due esiti possibili: falso, ogni chiamata ha comunque due soli esiti (vendita conclusa o no).
Domanda 7
Un sistema pubblicitario online mostra un annuncio a utenti successivi. La probabilità che un singolo utente clicchi sull'annuncio è \( 0{,}02 \), indipendentemente dagli utenti precedenti. Il sistema continua a mostrare l'annuncio finché non si verifica il PRIMO clic. Sia \( X \) il numero di annunci mostrati (compreso quello su cui avviene il clic).
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità che il primo clic avvenga entro i primi 50 annunci mostrati (cioè che \( X\le50 \))?
\( X \) conta il numero di prove indipendenti necessarie per ottenere il primo successo (il primo clic), con probabilità di successo costante ad ogni prova: è la definizione della distribuzione geometrica, con: \[ p = 0{,}02 \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Binomiale con \( n=1 \), \( p=0{,}02 \): la binomiale richiede un numero FISSATO di prove in anticipo; qui invece non sappiamo a priori quanti annunci verranno mostrati, si continua finché non arriva il primo clic.
• Poisson con \( \lambda=0{,}02 \): non c'è un intervallo continuo di riferimento con un tasso medio di eventi, ma un conteggio di prove ripetute fino a un evento specifico.
• Geometrica con \( p=0{,}98 \): errore di parametro — \( p \) deve essere la probabilità di "successo" (il clic, \( 0{,}02 \)), non quella di "insuccesso" (\( 0{,}98 \)).
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X\le50) = 1-(1-p)^{50} = 1-(0{,}98)^{50} \approx 1-0{,}3642 \approx 0{,}6358 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 36{,}42\% \): è \( (0{,}98)^{50} \), cioè la probabilità di NON ottenere alcun clic nei primi 50 annunci — il complementare dell'evento richiesto, non l'evento stesso.
• \( \approx 0{,}74\% \): calcolato \( P(X=50) \) (il clic esattamente al 50° annuncio), non \( P(X\le50) \) (entro il 50°).
• \( \approx 99{,}99\% \): usato \( p=0{,}98 \) al posto di \( p=0{,}02 \) nella formula.
Domanda 8
In una pezza di stoffa si riscontrano mediamente 2 difetti ogni 5 metri, distribuiti secondo un processo di Poisson. Sia \( X \) il numero di difetti in un tratto di 10 metri di stoffa scelto a caso.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \), e con quale parametro?
Parte 2 — Qual è la probabilità che in un tratto di 10 metri si trovino esattamente 2 difetti?
\( X \) conta un numero di eventi rari (difetti) su un intervallo continuo (la lunghezza della stoffa): è Poisson. Il parametro \( \lambda \) va però convertito alla scala richiesta: \[ \lambda = 2 \times \frac{10}{5} = 4 \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Poisson con \( \lambda=2 \): è il parametro dato nell'enunciato ma riferito a 5 metri, non convertito ai 10 richiesti.
• Binomiale con \( n=10 \), \( p=\dfrac25 \): non ci sono 10 prove indipendenti con probabilità di successo fissa, ma un conteggio di eventi rari in un continuo.
• Poisson con \( \lambda=0{,}4 \): errore di conversione nella direzione sbagliata (si ottiene dividendo invece di moltiplicare).
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = 8\,e^{-4} \approx 0{,}1465 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 13{,}53\% \): calcolato con \( \lambda=2 \) (non convertito), lo stesso errore della Parte 1.
• \( \approx 29{,}31\% \): manca il fattoriale \( 2!=2 \) al denominatore.
• \( \approx 23{,}81\% \): è \( P(X\le2) \) (cumulativa da 0 a 2), non \( P(X=2) \).
Domanda 9
Una fabbrica produce pezzi con probabilità di difetto pari a \( 0{,}05 \), indipendentemente da pezzo a pezzo. Si esamina un campione di 20 pezzi. Sia \( X \) il numero di pezzi FUNZIONANTI (non difettosi) nel campione.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \), e con quale parametro \( p \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità che, su 20 pezzi, siano tutti funzionanti?
\( X \) è una variabile aleatoria binomiale: conta i "successi" in 20 prove indipendenti, dove qui il "successo" è definito come "pezzo funzionante", con probabilità: \[ p = 1-0{,}05 = 0{,}95 \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Binomiale con \( n=20 \), \( p=0{,}05 \): è il parametro giusto per la distribuzione del numero di pezzi DIFETTOSI, non di quelli funzionanti.
• Poisson con \( \lambda=1 \): non si applica: numero di prove fissato e non piccolo, meglio la binomiale esatta.
• Ipergeometrica: non si applica, non essendoci un'estrazione senza reimmissione da una popolazione finita nota.
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=20) = \binom{20}{20}(0{,}95)^{20}(0{,}05)^0 = (0{,}95)^{20} \approx 0{,}3585 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 73{,}58\% \): è \( P(X\ge19) \) (almeno 19 funzionanti), non \( P(X=20) \) (tutti e 20).
• \( \approx 0{,}00\% \): usato erroneamente \( p=0{,}05 \) al posto di \( p=0{,}95 \).
• \( \approx 64{,}15\% \): è il complementare \( 1-0{,}3585 \), cioè "almeno un pezzo difettoso" — risponde a una domanda diversa.
Domanda 10
Da un mazzo di 40 carte (10 per ciascuno dei 4 semi) si estraggono 6 carte senza reinserirle. Sia \( X \) il numero di carte di cuori ottenute.
Parte 1 — Quale distribuzione descrive \( X \)?
Parte 2 — Qual è la probabilità di estrarre esattamente 2 carte di cuori (su 6 estratte)?
Estrazione senza reimmissione da una popolazione finita: è ipergeometrica, con: \[ N=40 \text{ (carte totali)}, \quad K=10 \text{ (cuori nel mazzo)}, \quad n=6 \text{ (carte estratte)} \]
Perché le altre opzioni della Parte 1 sono sbagliate:
• Binomiale con \( n=6 \), \( p=\dfrac{10}{40} \): richiederebbe indipendenza tra le estrazioni, che qui manca proprio perché non c'è reimmissione.
• Ipergeometrica con \( N=40 \), \( K=6 \), \( n=10 \): parametri scambiati, \( K \) e \( n \) invertiti.
• Geometrica con \( p=\dfrac{10}{40} \): conterebbe il numero di estrazioni fino alla prima carta di cuori, non il numero di cuori su 6 estrazioni fissate.
Calcolo (Parte 2):
\[ P(X=2) = \frac{\binom{10}{2}\binom{30}{4}}{\binom{40}{6}} = \frac{45\cdot27\,405}{3\,838\,380} \approx 0{,}3213 \]
Perché le altre opzioni della Parte 2 sono sbagliate:
• \( \approx 29{,}66\% \): calcolato usando erroneamente la formula binomiale (con \( p=0{,}25 \)) invece dell'ipergeometrica.
• \( \approx 2{,}38\% \): \( K \) e \( n \) scambiati nella formula, come nell'errore tipico della Parte 1.
• \( \approx 67{,}87\% \): è il complementare \( 1-0{,}3213 \), cioè la probabilità di NON ottenere esattamente 2 cuori.